Banyak persamaan diferensial penting, misalnya persamaan Airy dan persamaan Hermite, tidak berkoefisien konstan dan tidak punya penyelesaian dalam fungsi elementer. Gagasan: cari penyelesaian dalam bentuk deret pangkat \(y=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\) dan tentukan koefisien \(c_n\) dengan memasukkannya ke persamaan.
1. Metode dasar
Deret pangkat dapat diturunkan suku demi suku dalam interval kekonvergenannya (11.9): \[ y=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,\quad y'=\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1},\quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}. \] Langkah-langkah:
- Substitusi \(y,y',y''\) ke persamaan.
- Geser indeks agar semua deret memuat \(x^n\) (atau pangkat yang sama).
- Samakan koefisien \(x^n\) pada kedua ruas sama dengan nol; ini memberi relasi rekurensi untuk \(c_n\).
- Gunakan syarat awal bila ada: \(c_0=y(0)\), \(c_1=y'(0)\).
2. Contoh
\(\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n\). Geser ruas kiri: \(\sum_{n=0}^\infty(n+1)c_{n+1}x^n\). Koefisien \(x^n\): \((n+1)c_{n+1}=c_n\Rightarrow c_{n+1}=\frac{c_n}{n+1}\), jadi \(c_n=\frac{c_0}{n!}\) dan \(y=c_0\sum\frac{x^n}{n!}=c_0e^x\). Metode mengungkap kembali penyelesaian yang kita kenal.
\(\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty c_nx^n=0\). Geser: \(\sum_{n=0}^\infty\bigl[(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n\bigr]x^n=0\). Rekurensi: \(c_{n+2}=-\dfrac{c_n}{(n+2)(n+1)}\). Dari \(c_0\): \(c_2=-\frac{c_0}2\), \(c_4=\frac{c_0}{24}\), \(c_{2k}=\frac{(-1)^kc_0}{(2k)!}\). Dari \(c_1\): \(c_3=-\frac{c_1}6\), \(c_5=\frac{c_1}{120}\), \(c_{2k+1}=\frac{(-1)^kc_1}{(2k+1)!}\). Jadi \[ y=c_0\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+c_1\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}=c_0\cos x+c_1\sin x. \]
\(\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^{n+1}\). Ruas kiri dengan indeks \(n\to n+2\): \(\sum_{n=0}^\infty(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n\); ruas kanan dengan \(n\to n-1\): \(\sum_{n=1}^\infty c_{n-1}x^n\). Suku \(x^0\): \(2c_2=0\Rightarrow c_2=0\). Untuk \(n\ge1\): \((n+2)(n+1)c_{n+2}=c_{n-1}\), yaitu \[ c_{n+2}=\frac{c_{n-1}}{(n+2)(n+1)}. \] Maka \(c_3=\frac{c_0}{6}\), \(c_6=\frac{c_3}{30}=\frac{c_0}{180}\), \(c_4=\frac{c_1}{12}\), \(c_7=\frac{c_4}{42}=\frac{c_1}{504}\), \(c_5=\frac{c_2}{20}=0\), seluruh \(c_{3k+2}=0\). Penyelesaian umum \[ y=c_0\Bigl(1+\frac{x^3}6+\frac{x^6}{180}+\cdots\Bigr)+c_1\Bigl(x+\frac{x^4}{12}+\frac{x^7}{504}+\cdots\Bigr). \] Cek numerik di \(x=1\): untuk \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\) deret memberi \(1+\frac16+\frac1{180}+\frac1{12960}\approx1{,}1723\), sama dengan penyelesaian numerik persamaan (Runge–Kutta) \(1{,}1723\). Untuk \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\): \(y(1)=1+\frac1{12}+\frac1{504}+\frac1{45360}\approx1{,}0853\) (suku \(x\) pertama sudah termasuk), cocok dengan penyelesaian numerik \(1{,}0853\). Fungsi ini adalah fungsi Airy, dipakai dalam optika dan mekanika kuantum.
Dengan \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\). Substitusi: \(\sum n(n-1)c_nx^{n-2}+\sum nc_nx^n+\sum c_nx^n=0\). Koefisien \(x^n\): \((n+2)(n+1)c_{n+2}+nc_n+c_n=0\), sehingga \(c_{n+2}=-\dfrac{c_n}{n+2}\). \(c_1=0\Rightarrow\) semua suku ganjil nol. \(c_0=1\): \(c_2=-\frac12\), \(c_4=\frac18\), \(c_6=-\frac1{48}\), umum \(c_{2k}=\dfrac{(-1)^k}{2^kk!}\). Maka \(y=\sum\dfrac{(-x^2/2)^k}{k!}=e^{-x^2/2}\). Periksa: \(y'=-xy\), \(y''=-y+x^2y\); \(y''+xy'+y=-y+x^2y-x^2y+y=0\). (Kurva lonceng distribusi normal.)
\(y''-2xy'+2\lambda y=0\). Rekurensi: \((n+2)(n+1)c_{n+2}=2(n-\lambda)c_n\). Untuk \(\lambda=2\): \(c_2=\frac{2(0-2)}{2}c_0=-2c_0\); \(c_4=\frac{2(2-2)}{12}c_2=0\), dan semua suku genap berikutnya nol. Dengan \(c_1=0\) diperoleh polinomial \(y=c_0(1-2x^2)\) (sebanding dengan polinomial Hermite \(H_2=4x^2-2\)). Pemeriksaan: \(y=1-2x^2\): \(y''=-4\), \(-2xy'=-2x(-4x)=8x^2\), \(4y=4-8x^2\); jumlah \(-4+8x^2+4-8x^2=0\). Bila \(\lambda\) bilangan bulat tak negatif, rekurensi terputus dan menghasilkan polinomial.
\((1-x^2)y''-2xy'+2y=0\). Rekurensi dari koefisien \(x^n\): \((n+2)(n+1)c_{n+2}-n(n-1)c_n-2nc_n+2c_n=0\), yaitu \((n+2)(n+1)c_{n+2}=(n^2+n-2)c_n=(n+2)(n-1)c_n\). Maka \(c_{n+2}=\dfrac{n-1}{n+1}c_n\). Untuk \(c_1=1\): \(c_3=0\), semua suku ganjil berikutnya nol, jadi \(y=x\) (memang \(y=x\) memenuhi persamaan: \(0-2x+2x=0\)). Untuk \(c_0=1\): \(c_2=-1\), \(c_4=\frac13c_2=-\frac13\), \(c_6=\frac35c_4=-\frac15\), umum \(c_{2k}=-\frac1{2k-1}\): \(y=1-x^2-\frac{x^4}3-\frac{x^6}5-\cdots\).
3. Selang kekonvergenan dan titik biasa
Untuk persamaan \(P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\), titik \(x_0\) adalah titik biasa bila \(Q/P\) dan \(R/P\) analitik di sana. Maka terdapat dua penyelesaian deret pangkat di sekitar \(x_0\) dengan jari-jari kekonvergenan minimal sejauh jarak ke titik singular (akar \(P\)) terdekat, termasuk titik kompleks. Pada Contoh 6, \(P=1-x^2\) mempunyai akar \(\pm1\), jadi deret konvergen untuk \(|x|\lt1\). Pada persamaan Airy tidak ada titik singular: konvergen untuk semua \(x\).
Bila \(x_0\) titik singular namun "reguler" (mis. \(x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\), persamaan Bessel), penyelesaian berbentuk \(y=x^r\sum c_nx^n\) (metode Frobenius) dengan \(r\) ditentukan dari persamaan indeks. Ini di luar cakupan bab ini, tetapi memberi fungsi Bessel yang muncul pada getaran membran melingkar dan konduksi panas pada silinder.
4. Kesalahan umum
- Lupa menggeser indeks sehingga pangkat \(x\) tidak sama sebelum menyamakan koefisien.
- Melewatkan suku awal ketika batas bawah jumlah berbeda (mis. \(c_2=0\) pada persamaan Airy).
- Menganggap \(c_0\) dan \(c_1\) harus ditentukan: keduanya konstanta bebas sampai syarat awal diberikan.
- Memakai deret di luar jari-jari kekonvergenannya.
5. Ringkasan
- Pakai \(y=\sum c_nx^n\); samakan koefisien \(x^n\) untuk memperoleh rekurensi.
- \(c_0=y(0)\), \(c_1=y'(0)\); dua konstanta bebas = dua penyelesaian.
- Hasil dapat dikenali sebagai fungsi elementer (\(e^x,\cos x,e^{-x^2/2}\)) atau fungsi khusus (Airy, Hermite, Bessel).
Subbab ini menutup Bab 17.