1. Luas daerah kutub
Dasar dari semuanya adalah luas juring (sektor) lingkaran. Juring berjari-jari \(r\) dengan sudut pusat \(\theta\) (radian) memiliki luas \[ A=\tfrac12 r^2\theta, \tag{1} \] karena luasnya sebanding dengan sudut pusat: \(\dfrac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2\).
Misalkan \(\mathcal R\) adalah daerah yang dibatasi kurva \(r=f(\theta)\) dan dua sinar \(\theta=a\) dan \(\theta=b\), dengan \(f\) kontinu dan positif serta \(0\lt b-a\le2\pi\). Bagi \([a,b]\) menjadi \(n\) bagian sama lebar \(\Delta\theta\). Sinar-sinar pembagi memecah \(\mathcal R\) menjadi \(n\) irisan tipis. Irisan ke-\(i\) dihampiri juring berjari-jari \(f(\theta_i^*)\) dan sudut \(\Delta\theta\), maka luasnya \(\approx\tfrac12[f(\theta_i^*)]^2\Delta\theta\). Menjumlahkan lalu mengambil limit \(n\to\infty\) menghasilkan integral:
Daun di sisi kanan disapu sinar dari \(\theta=-\tfrac\pi4\) sampai \(\tfrac\pi4\) (karena \(r\ge0\) di sana dan \(r=0\) di kedua ujungnya). Dengan simetri terhadap sumbu \(x\): \[ A=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tfrac12\cos^22\theta\,d\theta=\int_0^{\pi/4}\cos^22\theta\,d\theta=\int_0^{\pi/4}\tfrac12(1+\cos4\theta)\,d\theta=\Bigl[\tfrac\theta2+\tfrac18\sin4\theta\Bigr]_0^{\pi/4}=\frac\pi8. \] Karena keempat daun kongruen, luas seluruh mawar \(=4\cdot\tfrac\pi8=\tfrac\pi2\).
Kerjakan juga dengan alat: kalkulator Python, pilih Luas daerah kutub, \(r(t)=\cos(2*t)\), batas \(-pi/4\) sampai \(pi/4\), hasil \(\approx0.3927=\pi/8\).
\(r=1+\sin\theta\), \(0\le\theta\le2\pi\): \[ A=\tfrac12\int_0^{2\pi}(1+2\sin\theta+\sin^2\theta)\,d\theta=\tfrac12\Bigl[\theta-2\cos\theta+\tfrac\theta2-\tfrac14\sin2\theta\Bigr]_0^{2\pi}=\tfrac12\cdot3\pi=\frac{3\pi}2. \]
2. Luas di antara dua kurva kutub
Bila \(\mathcal R\) dibatasi kurva dalam \(r=g(\theta)\) dan kurva luar \(r=f(\theta)\) untuk \(a\le\theta\le b\) (dengan \(f\ge g\ge0\)), luasnya adalah luas daerah luar dikurangi luas daerah dalam: \[ A=\tfrac12\int_a^b\bigl([f(\theta)]^2-[g(\theta)]^2\bigr)\,d\theta. \]
Cari luas daerah di dalam \(r=3\sin\theta\) dan di luar \(r=1+\sin\theta\).
Langkah 1: titik potong. \(3\sin\theta=1+\sin\theta\Rightarrow\sin\theta=\tfrac12\Rightarrow\theta=\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\). Itulah batas \(a,b\).
Langkah 2: integral. Pada \(\tfrac\pi6\le\theta\le\tfrac{5\pi}6\), lingkaran adalah kurva luar. Karena daerah simetris terhadap sumbu \(y\) (\(\theta=\pi/2\)), hitung separuh lalu gandakan: \[ A=2\cdot\tfrac12\int_{\pi/6}^{\pi/2}\bigl(9\sin^2\theta-(1+2\sin\theta+\sin^2\theta)\bigr)d\theta=\int_{\pi/6}^{\pi/2}(8\sin^2\theta-2\sin\theta-1)\,d\theta. \] Gunakan \(\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)\): integran menjadi \(3-4\cos2\theta-2\sin\theta\), sehingga \[ A=\Bigl[3\theta-2\sin2\theta+2\cos\theta\Bigr]_{\pi/6}^{\pi/2}=\Bigl(\tfrac{3\pi}2+0\Bigr)-\Bigl(\tfrac\pi2-\sqrt3+\sqrt3\Bigr)=\pi. \] (Perhatikan: di \(\theta=\pi/6\), \(-2\sin\tfrac\pi3=-\sqrt3\) dan \(2\cos\tfrac\pi6=\sqrt3\), sehingga saling menghapus.) Luas \(=\pi\).
Karena satu titik memiliki banyak representasi, menyelesaikan \(f(\theta)=g(\theta)\) tidak selalu menemukan semua titik potong. Pada Contoh 3, lingkaran dan kardioid memotong di \((\tfrac32,\tfrac\pi6)\) dan \((\tfrac32,\tfrac{5\pi}6)\) dan juga di kutub. Kutub tidak ditemukan dari penyelesaian persamaan karena kutub bukan \((r,\theta)\) yang sama untuk kedua kurva: lingkaran mencapai kutub di \(\theta=0,\pi\) (\(3\sin\theta=0\)), sedangkan kardioid mencapainya di \(\theta=\tfrac{3\pi}2\). Pikirkan dua titik yang bergerak sepanjang kurva masing-masing saat \(\theta\) naik: mereka tidak bertabrakan di kutub karena tiba pada waktu berbeda, tetapi kurvanya tetap berpotongan di sana.
Saran: selalu gambar kedua kurva (dengan komputer bila perlu), dan periksa kutub secara terpisah.
Dari \(\cos2\theta=\tfrac12\) diperoleh \(2\theta=\pm\tfrac\pi3+2k\pi\), jadi \(\theta=\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6,\tfrac{7\pi}6,\tfrac{11\pi}6\): empat titik. Dari gambar ada empat titik lagi, yaitu \((\tfrac12,\tfrac\pi3),(\tfrac12,\tfrac{2\pi}3),(\tfrac12,\tfrac{4\pi}3),(\tfrac12,\tfrac{5\pi}3)\). Titik-titik ini ditemukan lewat simetri, atau dengan menulis lingkaran sebagai \(r=-\tfrac12\) dan menyelesaikan \(\cos2\theta=-\tfrac12\). Total delapan titik potong.
3. Panjang kurva kutub
Jadikan \(\theta\) parameter: \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\), \(r=f(\theta)\). Turunkan: \[ \frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta,\qquad\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta. \] Kuadratkan dan jumlahkan; suku silang \(\mp2r\,\tfrac{dr}{d\theta}\sin\theta\cos\theta\) saling menghapus dan \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\): \[ \Bigl(\frac{dx}{d\theta}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{d\theta}\Bigr)^2=\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2+r^2. \] Dengan rumus panjang kurva parametrik (Bagian 10.2) kita dapatkan
\(r=1+\sin\theta\), \(\dfrac{dr}{d\theta}=\cos\theta\): \[ r^2+r'^2=1+2\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta=2+2\sin\theta. \] Integral \(\int_0^{2\pi}\sqrt{2+2\sin\theta}\,d\theta\) dapat dihitung dengan mengalikan dan membagi dengan \(\sqrt{2-2\sin\theta}\), atau dengan identitas setengah-sudut (\(1+\sin\theta=2\sin^2(\tfrac\theta2+\tfrac\pi4)\)). Hasilnya \(L=8\). Periksa numerik di kalkulator Python (hasil \(\approx7.9999999\)).
Di sini \(r=\theta\) dan \(dr/d\theta=1\), jadi \[ L=\int_0^{\pi}\sqrt{\theta^2+1}\,d\theta=\Bigl[\tfrac\theta2\sqrt{\theta^2+1}+\tfrac12\ln\bigl(\theta+\sqrt{\theta^2+1}\bigr)\Bigr]_0^{\pi} =\tfrac\pi2\sqrt{\pi^2+1}+\tfrac12\ln\bigl(\pi+\sqrt{\pi^2+1}\bigr)\approx5.18+0.93\approx6.11. \] (Antiturunan \(\int\sqrt{\theta^2+1}\,d\theta\) diperoleh dengan substitusi trigonometri \(\theta=\tan u\).)
4. Luas permukaan benda putar (kurva kutub)
Jika kurva \(r=f(\theta)\), \(a\le\theta\le b\), diputar mengelilingi sumbu kutub (sumbu \(x\)), maka dengan \(y=r\sin\theta\) dan elemen busur kutub di atas, \[ S=\int_a^b2\pi\,r\sin\theta\,\sqrt{r^2+\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2}\,d\theta. \] Untuk diputar mengelilingi sumbu \(y\), ganti \(\sin\theta\) dengan \(\cos\theta\) (karena \(x=r\cos\theta\)).
5. Ringkasan
| Besaran | Rumus |
|---|---|
| Luas daerah sampai kutub | \(\tfrac12\int_a^b r^2\,d\theta\) |
| Luas antara dua kurva | \(\tfrac12\int_a^b(r_{luar}^2-r_{dalam}^2)\,d\theta\) |
| Panjang kurva | \(\int_a^b\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta\) |
| Luas permukaan putar (sumbu kutub) | \(\int_a^b2\pi r\sin\theta\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta\) |