Kita sudah dapat menghitung panjang kurva (10.2, 13.3) dan volume padatan (15.2). Sekarang giliran luas sebuah permukaan lengkung \(S\) di ruang.
1. Permukaan sebagai grafik \(z=f(x,y)\)
Misalkan \(f\) mempunyai turunan parsial kontinu pada \(D\). Bagi \(D\) menjadi persegi panjang kecil \(R_{ij}\) berluas \(\Delta A=\Delta x\Delta y\). Di atas \(R_{ij}\), permukaan kira-kira berupa jajargenjang bagian dari bidang singgung (14.4). Jajargenjang itu dibentangkan oleh vektor \[ \mathbf a=\langle\Delta x,\,0,\,f_x\Delta x\rangle,\qquad\mathbf b=\langle0,\,\Delta y,\,f_y\Delta y\rangle. \] Luasnya \(|\mathbf a\times\mathbf b|\). Hitung \(\mathbf a\times\mathbf b=\Delta x\Delta y\,\langle-f_x,-f_y,1\rangle\), sehingga \[ \Delta S_{ij}\approx\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\;\Delta A. \] Menjumlahkan dan mengambil limit memberi:
\[ A(S)=\iint_D\sqrt{1+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^2}\;dA=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA. \] (Ini analog dari \(L=\int\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx\) untuk kurva.)
\(\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\dfrac1{\cos\gamma}\), dengan \(\gamma\) sudut antara bidang singgung dan bidang \(xy\) (sudut antara \(\langle-f_x,-f_y,1\rangle\) dan \(\mathbf k\)). Permukaan yang lebih miring mempunyai luas lebih besar daripada proyeksinya. Bila bidang datar, faktor sama dengan 1.
2. Contoh
Bagian bidang \(z=4-x-2y\) di atas persegi \([0,1]^2\): \(f_x=-1\), \(f_y=-2\), faktor \(\sqrt{1+1+4}=\sqrt6\). Luas \(=\sqrt6\cdot1\approx2{,}449\). (Konstan karena kemiringan konstan.)
Luas bagian paraboloid \(z=x^2+y^2\) di bawah bidang \(z=9\). Proyeksinya cakram \(x^2+y^2\le9\). \(f_x=2x\), \(f_y=2y\): \(\sqrt{1+4r^2}\). Dengan kutub: \(A=\int_0^{2\pi}\int_0^3\sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\Bigl[\tfrac1{12}(1+4r^2)^{3/2}\Bigr]_0^3=\dfrac\pi6\bigl(37\sqrt{37}-1\bigr)\approx117{,}3\).
\(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\): \(f_x=-\dfrac xz\), \(f_y=-\dfrac yz\), \(1+f_x^2+f_y^2=\dfrac{z^2+x^2+y^2}{z^2}=\dfrac{a^2}{z^2}\). Faktor \(=\dfrac a{\sqrt{a^2-r^2}}\). \(A=\int_0^{2\pi}\int_0^a\dfrac{a\,r}{\sqrt{a^2-r^2}}\,dr\,d\theta=2\pi a\bigl[-\sqrt{a^2-r^2}\bigr]_0^a=2\pi a^2\). Seluruh bola: \(4\pi a^2\). (Integralnya takwajar di \(r=a\) tetapi konvergen.)
\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) untuk \(0\le z\le h\): \(f_x=\frac xr\), \(f_y=\frac yr\), faktor \(\sqrt2\). \(A=\sqrt2\cdot\pi h^2\). Untuk \(h=3\): \(9\sqrt2\pi\approx39{,}99\). Cek: luas selimut kerucut \(\pi r s\) dengan \(r=h\), \(s=h\sqrt2\): \(\sqrt2\pi h^2\). Cocok.
\(z=xy\) di atas \(x^2+y^2\le1\): \(\sqrt{1+y^2+x^2}\). \(A=\int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{1+r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac13\bigl(2\sqrt2-1\bigr)\approx3{,}829\) (cakram datar luas \(\pi\approx3{,}142\)).
\(z=\tfrac23\bigl(x^{3/2}+y^{3/2}\bigr)\) di atas \([0,1]^2\): \(f_x=\sqrt x\), \(f_y=\sqrt y\). \(A=\int_0^1\int_0^1\sqrt{1+x+y}\,dy\,dx=\int_0^1\tfrac23\bigl[(2+x)^{3/2}-(1+x)^{3/2}\bigr]dx=\tfrac4{15}\bigl(9\sqrt3-8\sqrt2+1\bigr)\approx1{,}4066\).
3. Permukaan parametrik
Bila permukaan diberikan oleh \(\mathbf r(u,v)=\langle x(u,v),y(u,v),z(u,v)\rangle\), \((u,v)\in D\), vektor \(\mathbf r_u=\frac{\partial\mathbf r}{\partial u}\), \(\mathbf r_v\) menyinggung permukaan, dan \[ A(S)=\iint_D|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,dA. \] Grafik \(z=f(x,y)\) adalah kasus khusus \(\mathbf r=\langle x,y,f(x,y)\rangle\), \(\mathbf r_x\times\mathbf r_y=\langle-f_x,-f_y,1\rangle\).
Bola jari-jari \(a\): \(\mathbf r(\phi,\theta)=\langle a\sin\phi\cos\theta,\ a\sin\phi\sin\theta,\ a\cos\phi\rangle\), \(0\le\phi\le\pi\), \(0\le\theta\le2\pi\). \(\mathbf r_\phi=\langle a\cos\phi\cos\theta,a\cos\phi\sin\theta,-a\sin\phi\rangle\), \(\mathbf r_\theta=\langle-a\sin\phi\sin\theta,a\sin\phi\cos\theta,0\rangle\). \(\mathbf r_\phi\times\mathbf r_\theta=a^2\sin\phi\,\langle\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi\rangle\), panjang \(a^2\sin\phi\). \(A=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta=4\pi a^2\). Faktor \(a^2\sin\phi\) ini akan muncul lagi di koordinat bola (15.9).
Silinder \(x^2+y^2=a^2\), \(0\le z\le h\): \(\mathbf r(\theta,z)=\langle a\cos\theta,a\sin\theta,z\rangle\). \(\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z=\langle a\cos\theta,a\sin\theta,0\rangle\), panjang \(a\). \(A=\int_0^{2\pi}\int_0^ha\,dz\,d\theta=2\pi ah\), yaitu keliling kali tinggi.
\(z=\tfrac12(x^2+y^2)\) untuk \(x^2+y^2\le3\): faktor \(\sqrt{1+r^2}\). \(A=2\pi\int_0^{\sqrt3}r\sqrt{1+r^2}\,dr=2\pi\cdot\tfrac13\bigl(4^{3/2}-1\bigr)=\tfrac{14\pi}3\approx14{,}66\).
4. Kesalahan umum
- Memakai \(\iint_Dz\,dA\) atau luas \(D\) sebagai luas permukaan. Luas \(D\) hanya luas proyeksi.
- Lupa faktor \(r\) ketika berpindah ke kutub setelah membentuk \(\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\).
- Menggunakan rumus grafik pada permukaan yang tidak berupa grafik terhadap \(D\) yang dipilih (mis. bola penuh): gunakan parametrisasi.
5. Ringkasan
- Grafik: \(A=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA\).
- Parametrik: \(A=\iint_D|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,dA\).
- Pengujian: bola \(4\pi a^2\), silinder \(2\pi ah\), kerucut \(\pi rs\).
Berikutnya 15.7 Integral Rangkap Tiga.