Teorema Dasar Kalkulus mengubah integral pada selang menjadi nilai pada batas selang. Teorema Green melakukan hal serupa pada bidang: ia menghubungkan integral garis sepanjang kurva tertutup dengan integral ganda dua pada daerah yang dikurungnya.
1. Orientasi
Kurva tertutup sederhana \(C\) (tidak memotong dirinya sendiri) mempunyai dua arah. Orientasi positif adalah arah berlawanan jarum jam, yaitu arah dengan daerah \(D\) yang dikurung selalu berada di sebelah kiri penelusur.
2. Teorema Green
Misalkan \(C\) kurva tertutup sederhana, mulus sebagian-sebagian, berorientasi positif, yang membatasi daerah \(D\). Jika \(P\) dan \(Q\) mempunyai turunan parsial kontinu pada daerah terbuka yang memuat \(D\), maka \[ \oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA. \]
Notasi lain untuk ruas kiri: \(\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\) dengan \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\), dan \(\partial D\) untuk batas \(D\).
Bukti (untuk daerah yang sekaligus tipe I dan tipe II). Tunjukkan \(\oint_CP\,dx=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dA\). Tulis \(D=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\). Maka \(\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dA=\int_a^b\bigl[P(x,g_2(x))-P(x,g_1(x))\bigr]dx\). Di sisi lain, \(C=C_1\cup C_2\cup\)(dua ruas vertikal, tempat \(dx=0\)), dengan \(C_1\) (bawah, dari kiri ke kanan): \(\int_{C_1}P\,dx=\int_a^bP(x,g_1(x))\,dx\), dan \(C_2\) (atas, dari kanan ke kiri): \(\int_{C_2}P\,dx=-\int_a^bP(x,g_2(x))\,dx\). Jumlahnya \(\oint_CP\,dx=-\int_a^b\bigl[P(x,g_2)-P(x,g_1)\bigr]dx=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dA\). Dengan memandang \(D\) sebagai tipe II diperoleh \(\oint_CQ\,dy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}dA\). Jumlahkan. Daerah umum dipotong menjadi potongan sederhana; integral garis pada potongan pembatas dalam saling menghapus karena dilalui dua arah. \(\blacksquare\)
3. Contoh
\(\oint_Cx^4\,dx+xy\,dy\), \(C\) segitiga \((0,0),(1,0),(0,1)\) berlawanan arah jarum jam. \(P=x^4\), \(Q=xy\): \(Q_x-P_y=y-0=y\). \(\iint_Dy\,dA=\int_0^1\int_0^{1-y}y\,dx\,dy=\int_0^1y(1-y)\,dy=\tfrac16\). Cek langsung: ruas \((0,0)\to(1,0)\): \(\int_0^1x^4dx=\tfrac15\); ruas \((1,0)\to(0,1)\): \(x=1-s,y=s\): \(\int_0^1\bigl[-(1-s)^4+(1-s)s\bigr]ds=-\tfrac15+\tfrac16\); ruas \((0,1)\to(0,0)\): \(x=0\), integral 0. Jumlah \(\tfrac15-\tfrac15+\tfrac16=\tfrac16\). Cocok.
\(\oint_C-y^3\,dx+x^3\,dy\), \(C\): lingkaran \(x^2+y^2=a^2\). \(Q_x-P_y=3x^2+3y^2\). \(\iint_D3(x^2+y^2)\,dA=3\int_0^{2\pi}\int_0^ar^2\cdot r\,dr\,d\theta=\tfrac{3\pi a^4}2\). Langsung dengan parametrisasi akan melibatkan \(\cos^4+\sin^4\), lebih panjang.
\(\oint_C(y+e^{x^2})\,dx+(2x+\cos y)\,dy\), \(C\) elips \(\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1\). \(Q_x-P_y=2-1=1\), jadi integral \(=\) luas elips \(=\pi\cdot3\cdot2=6\pi\). Suku-suku sulit \(e^{x^2}\) dan \(\cos y\) tidak berperan.
\(\mathbf F=\langle-y,x\rangle\): usaha dari \((0,0)\) ke \((1,1)\) lewat parabola \(y=x^2\) adalah \(\frac13\), lewat garis \(y=x\) adalah 0. Kurva tertutup \(C=C_1\cup(-C_2)\) (naik di parabola, turun di garis) berorientasi positif: \(\oint_C=\frac13-0\). Teorema Green: \(Q_x-P_y=1-(-1)=2\), luas antara \(y=x^2\) dan \(y=x\) adalah \(\int_0^1(x-x^2)dx=\tfrac16\). \(\iint_D2\,dA=\tfrac13\). Cocok.
Misalkan \(D\) adalah cincin \(1\le x^2+y^2\le4\), dengan batas luar \(C_2\) (berlawanan arah jarum jam) dan batas dalam \(C_1\) (searah jarum jam, agar \(D\) tetap di kiri). Green berlaku dengan \(\partial D=C_2\cup(-C_1)\): \(\oint_{C_2}-\oint_{C_1}=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA\) dengan kedua lingkaran berlawanan arah jarum jam. Bila \(Q_x=P_y\) di seluruh \(D\) (mis. medan Contoh 4 di 16.3 \(\langle-y,x\rangle/(x^2+y^2)\)), maka \(\oint_{C_2}=\oint_{C_1}=2\pi\): kurva tertutup mana pun yang mengelilingi titik asal memberi sirkulasi yang sama, \(2\pi\).
4. Menghitung luas dengan integral garis
Pilih \(P,Q\) dengan \(Q_x-P_y=1\), mis. \(P=0,Q=x\) atau \(P=-y,Q=0\) atau \(P=-\frac y2,Q=\frac x2\). Maka \[ A(D)=\oint_Cx\,dy=-\oint_Cy\,dx=\frac12\oint_Cx\,dy-y\,dx. \]
\(x=a\cos t,\ y=b\sin t\), \(0\le t\le2\pi\): \(A=\frac12\int_0^{2\pi}\bigl[a\cos t\cdot b\cos t-b\sin t(-a\sin t)\bigr]dt=\frac12\int_0^{2\pi}ab\,dt=\pi ab\).
\(x=\cos^3t,\ y=\sin^3t\). \(x\,y'-y\,x'=\cos^3t\cdot3\sin^2t\cos t+\sin^3t\cdot3\cos^2t\sin t=3\sin^2t\cos^2t\). \(A=\frac12\int_0^{2\pi}3\sin^2t\cos^2t\,dt=\frac32\cdot\frac\pi4=\frac{3\pi}8\approx1{,}178\).
5. Bentuk vektor: sirkulasi dan fluks
Untuk \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\): \[ \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA\quad\text{(sirkulasi, "bentuk tangensial")}, \] \[ \oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_D\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Bigr)dA\quad\text{(fluks, "bentuk normal")}, \] dengan \(\mathbf n\) normal satuan keluar. Bentuk kedua diperoleh dari yang pertama dengan memakai medan \(\langle-Q,P\rangle\) (karena \(\mathbf n\,ds=\langle dy,-dx\rangle\)).
\(\mathbf F=\langle x^3,y^3\rangle\), fluks keluar melalui lingkaran jari-jari \(a\): \(\text{div}=3x^2+3y^2\), hasil \(\iint3r^2\,dA=\tfrac{3\pi a^4}2\). Untuk \(\mathbf F=\langle x,y\rangle\): div \(=2\), fluks \(=2\cdot\pi a^2\), cocok dengan 16.2 Contoh 8 (\(2\pi R^2\)).
6. Kesalahan umum
- Memakai arah searah jarum jam tanpa mengganti tanda hasil.
- Menukar \(Q_x\) dan \(P_y\) (rumus: \(Q_x-P_y\)).
- Menerapkan Green pada medan yang tidak halus di dalam \(D\) (mis. singularitas di titik asal).
- Lupa membalik arah batas dalam pada daerah berlubang.
7. Ringkasan
- \(\oint_CP\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA\), \(C\) berorientasi positif.
- Luas: \(A=\frac12\oint x\,dy-y\,dx\).
- Bentuk normal: \(\oint\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint\operatorname{div}\mathbf F\,dA\).
Berikutnya 16.5 Curl dan Divergensi.