Seperti koordinat kutub memudahkan integral ganda atas cakram, koordinat tabung (silinder) memudahkan integral rangkap tiga atas padatan yang mempunyai sumbu simetri.
1. Koordinat tabung
Titik \(P\) di ruang dinyatakan oleh \((r,\theta,z)\): \((r,\theta)\) adalah koordinat kutub proyeksi \(P\) pada bidang \(xy\), dan \(z\) adalah ketinggian.
\[ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z;\qquad r^2=x^2+y^2,\quad\tan\theta=\frac yx. \] Permukaan sederhana: \(r=c\) silinder, \(\theta=c\) setengah bidang vertikal, \(z=c\) bidang mendatar, \(z=r\) kerucut, \(z=r^2\) paraboloid.
- Titik tabung \((2,\tfrac{2\pi}3,1)\): \(x=2\cos\frac{2\pi}3=-1\), \(y=2\sin\frac{2\pi}3=\sqrt3\), \(z=1\): \((-1,\sqrt3,1)\).
- Titik Kartesius \((3,-3,-7)\): \(r=\sqrt{18}=3\sqrt2\), \(\tan\theta=-1\) dan titik di kuadran IV, \(\theta=-\frac\pi4\) (atau \(\frac{7\pi}4\)), \(z=-7\).
- Persamaan \(z=x^2+y^2\) menjadi \(z=r^2\); \(x^2+y^2+z^2=4\) menjadi \(r^2+z^2=4\).
2. Integral rangkap tiga dalam koordinat tabung
Bila \(E=\{(r,\theta,z):\alpha\le\theta\le\beta,\ h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta),\ u_1(r\cos\theta,r\sin\theta)\le z\le u_2(r\cos\theta,r\sin\theta)\}\), maka \[ \iiint_Ef\,dV=\int_\alpha^\beta\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1}^{u_2}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\;r\,dz\,dr\,d\theta. \] Elemen volume: \(dV=r\,dz\,dr\,d\theta\) (elemen luas kutub \(r\,dr\,d\theta\) dikalikan \(dz\)).
Padatan di dalam paraboloid \(z=x^2+y^2\) di bawah bidang \(z=4\): \(r^2\le z\le4\), \(0\le r\le2\). \(V=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^2(4-r^2)r\,dr=2\pi(8-4)=8\pi\).
Padatan antara \(z=r^2\) dan \(z=8-r^2\): perpotongan \(r^2=8-r^2\Rightarrow r=2\). \(V=2\pi\int_0^2(8-2r^2)r\,dr=2\pi(16-8)=16\pi\approx50{,}27\).
\(\displaystyle\iiint_E\sqrt{x^2+y^2}\,dV\), \(E\) di dalam silinder \(x^2+y^2=9\), antara \(z=-2\) dan \(z=5\): \(\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_{-2}^5r\cdot r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\cdot9\cdot7=126\pi\approx395{,}8\).
Silinder padat jari-jari \(a\), tinggi \(h\), kerapatan konstan \(\rho\), sumbu = sumbu \(z\). \(I_z=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^hr^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta=\rho\cdot2\pi\cdot h\cdot\tfrac{a^4}4=\tfrac12(\rho\pi a^2h)a^2=\tfrac12ma^2\).
Padatan \(E\) di dalam bola \(x^2+y^2+z^2\le4\) dan di atas kerucut \(z\ge\sqrt{x^2+y^2}\). Dalam tabung: \(r\le z\le\sqrt{4-r^2}\), dan \(r\le\sqrt{4-r^2}\Rightarrow r\le\sqrt2\). \(V=2\pi\int_0^{\sqrt2}\bigl(\sqrt{4-r^2}-r\bigr)r\,dr=2\pi\Bigl[-\tfrac13(4-r^2)^{3/2}-\tfrac{r^3}3\Bigr]_0^{\sqrt2}=2\pi\Bigl(-\tfrac{2\sqrt2}3-\tfrac{2\sqrt2}3+\tfrac83\Bigr)=\dfrac{8\pi}3\bigl(2-\sqrt2\bigr)\approx4{,}907\). (Bentuk "kerucut es krim"; ulangi dengan koordinat bola di 15.9.)
Kerucut padat \(r\le z\le h\), kerapatan konstan. Volume: \(\int_0^{2\pi}\int_0^h\int_r^hr\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^h(h-r)r\,dr=2\pi\tfrac{h^3}6=\tfrac{\pi h^3}3\). \(\iiint z\,dV=2\pi\int_0^h\int_r^hzr\,dz\,dr=2\pi\int_0^h\tfrac{h^2-r^2}2r\,dr=2\pi\cdot\tfrac{h^4}8=\tfrac{\pi h^4}4\). \(\bar z=\dfrac{\pi h^4/4}{\pi h^3/3}=\dfrac{3h}4\), diukur dari titik puncak (yaitu \(\frac h4\) dari alas).
3. Kapan memakai koordinat tabung?
- Padatan: silinder, paraboloid putar, kerucut berporos sumbu \(z\), padatan yang proyeksinya pada bidang \(xy\) adalah cakram atau cincin.
- Integran memuat \(x^2+y^2\).
- Bila sumbu simetri adalah sumbu lain, tukar peran peubah (mis. \(y=r\cos\theta\), \(z=r\sin\theta\) dan \(x\) sebagai tinggi).
4. Kesalahan umum
- Lupa faktor \(r\).
- Salah menentukan batas \(r\) dari proyeksi: batas \(r\) harus dari proyeksi padatan pada bidang \(xy\), bukan dari satu permukaan saja.
- Lupa mengubah \(z=x^2+y^2\) menjadi \(z=r^2\), atau \(x^2+y^2+z^2\) menjadi \(r^2+z^2\).
5. Ringkasan
- \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), \(z=z\); \(dV=r\,dz\,dr\,d\theta\).
- Cocok untuk padatan yang berporos pada satu sumbu.
- Penerapan: volume, massa, pusat massa, momen inersia.
Berikutnya 15.9 Koordinat Bola.