Deret harmonik berganti tanda konvergen, tetapi deret harmonik biasa divergen. Perbedaan ini ternyata penting: ada dua "tingkat" kekonvergenan. Subbab ini merumuskannya dan memberi dua uji yang sangat kuat untuk deret dengan faktorial atau pangkat: uji rasio dan uji akar.
1. Kekonvergenan mutlak dan bersyarat
- \(\sum a_n\) konvergen mutlak (absolutely convergent) jika deret nilai mutlaknya \(\sum|a_n|\) konvergen.
- \(\sum a_n\) konvergen bersyarat (conditionally convergent) jika \(\sum a_n\) konvergen tetapi \(\sum|a_n|\) divergen.
Untuk deret dengan suku positif, kedua gagasan itu sama. Contoh:
- \(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\) konvergen mutlak (karena \(\sum\frac1{n^2}\) konvergen).
- \(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) konvergen bersyarat (konvergen menurut uji Leibniz, tetapi \(\sum\frac1n\) divergen).
Jika \(\sum|a_n|\) konvergen, maka \(\sum a_n\) konvergen. (Kekonvergenan mutlak \(\Rightarrow\) kekonvergenan.)
Bukti. Karena \(-|a_n|\le a_n\le|a_n|\), maka \(0\le a_n+|a_n|\le2|a_n|\). Deret \(\sum2|a_n|\) konvergen, jadi \(\sum(a_n+|a_n|)\) konvergen menurut uji perbandingan. Lalu \(\sum a_n=\sum(a_n+|a_n|)-\sum|a_n|\) adalah selisih dua deret konvergen. \(\blacksquare\)
Suku berganti tanda secara tak beraturan, sehingga uji Leibniz tidak berlaku. Tetapi \(|\cos n|\le1\), jadi \(\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|\le\dfrac1{n^2}\), dan \(\sum\frac1{n^2}\) konvergen. Maka \(\sum|\cos n/n^2|\) konvergen (uji perbandingan), dan deret asal konvergen mutlak, jadi konvergen. (Jumlahnya \(\approx0{,}3241\).)
2. Uji rasio
Ide dasarnya dari deret geometri: bila rasio suku berurutan mendekati bilangan \(L\lt1\), deretnya "hampir geometri" dengan rasio \(L\), jadi konvergen.
- Jika \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\lt1\), maka \(\sum a_n\) konvergen mutlak (jadi konvergen).
- Jika \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\gt1\) atau \(=\infty\), maka \(\sum a_n\) divergen.
- Jika \(L=1\), uji tidak menyimpulkan apa-apa.
Bukti (kasus 1 dan 2)
(1) Pilih \(r\) dengan \(L\lt r\lt1\). Ada \(N\) sehingga \(|a_{n+1}|\lt r|a_n|\) untuk \(n\ge N\). Maka \(|a_{N+k}|\lt r^k|a_N|\), dan \(\sum_k r^k|a_N|\) geometri konvergen. Uji perbandingan memberi \(\sum|a_n|\) konvergen.
(2) Bila \(L\gt1\), untuk \(n\) besar \(|a_{n+1}|\gt|a_n|\), jadi \(|a_n|\) membesar dan \(a_n\not\to0\). Deret divergen menurut uji divergensi. \(\blacksquare\)
Mengapa \(L=1\) tidak menyimpulkan. Untuk \(\sum\frac1n\) (divergen) dan \(\sum\frac1{n^2}\) (konvergen), rasio \(\to1\) pada keduanya. Jadi uji rasio tidak dapat membedakan; gunakan uji lain.
Contoh uji rasio
\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot\dfrac{3^n}{n^3}=\dfrac13\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^3\to\dfrac13\lt1\). Konvergen mutlak. (Jumlahnya \(\approx0{,}0234\).)
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n^n}=\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^n\to e\gt1\). Divergen. (Rasio \(2{,}59\) di \(n=10\), \(2{,}70\) di \(n=100\), menuju \(e\).)
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{2^nn!}=2\cdot\dfrac{n^n}{(n+1)^n}=\dfrac2{(1+1/n)^n}\to\dfrac2e\approx0{,}736\lt1\). Konvergen.
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\dfrac{2(2n+1)}{n+1}\to4\gt1\). Divergen.
Rasio \(=\dfrac12\Bigl(1+\dfrac1n\Bigr)^2\to\dfrac12\), jadi konvergen. Jumlahnya tepat \(6\) (dapat diturunkan dengan deret pangkat; lihat 11.9).
\(\sum\dfrac1{n^2+1}\): rasio \(=\dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\to1\). Tak ada kesimpulan; gunakan perbandingan dengan \(\sum\frac1{n^2}\).
Cocok untuk suku yang memuat faktorial, pangkat \(c^n\), atau hasil kali, karena faktor-faktornya saling membatalkan pada \(a_{n+1}/a_n\). Tidak berguna untuk suku rasional murni (\(L=1\) selalu).
3. Uji akar
- Jika \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L\lt1\), maka \(\sum a_n\) konvergen mutlak.
- Jika \(\displaystyle\lim\sqrt[n]{|a_n|}=L\gt1\) atau \(=\infty\), maka \(\sum a_n\) divergen.
- Jika \(L=1\), uji tidak menyimpulkan.
Bukti (kasus 1). Pilih \(r\) dengan \(L\lt r\lt1\). Untuk \(n\ge N\), \(\sqrt[n]{|a_n|}\lt r\), yaitu \(|a_n|\lt r^n\). Bandingkan dengan geometri \(\sum r^n\). Kasus 2: \(|a_n|\gt1\) tak terhingga sering, jadi \(a_n\not\to0\). \(\blacksquare\)
\(\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac n{2n+1}\to\dfrac12\lt1\). Konvergen mutlak.
\(\sqrt[n]{a_n}=\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}\to e\gt1\). Divergen.
\(\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{2n+3}{3n+2}\to\dfrac23\lt1\). Konvergen.
Bila \(\lim|a_{n+1}/a_n|\) ada, maka \(\lim\sqrt[n]{|a_n|}\) ada dan sama. Uji akar sedikit lebih kuat, tetapi uji rasio biasanya lebih mudah dihitung. Untuk suku berbentuk \((\cdots)^n\), uji akar lebih cocok.
4. Penyusunan ulang suku (rearrangement)
Pada jumlah berhingga, urutan penjumlahan tidak berpengaruh. Pada deret tak hingga, bergantung pada jenis kekonvergenan:
- Konvergen mutlak: penyusunan ulang suku tidak mengubah jumlah (Dirichlet).
- Konvergen bersyarat: penyusunan ulang dapat menghasilkan jumlah berbeda, bahkan sembarang bilangan real atau divergen (Teorema Riemann).
Jumlah aslinya \(1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2\). Susun ulang dengan pola "dua suku positif, satu suku negatif": \[ 1+\frac13-\frac12+\frac15+\frac17-\frac14+\frac19+\frac1{11}-\frac16+\cdots \] Hitungan numerik dengan dua juta kelompok memberi \(\approx1{,}03972\), yaitu \(\frac32\ln2\). Jadi suku-suku yang sama, urutan berbeda, jumlah berbeda: \(\frac32\ln2\ne\ln2\).
Alasan: \(\sum_{\text{positif}}=\infty\) dan \(\sum_{\text{negatif}}=-\infty\). Kita dapat "memborong" suku positif sampai melewati target, lalu suku negatif sampai di bawahnya, berulang, sehingga jumlah parsial menuju target mana saja.
5. Peta uji sejauh ini
| Ciri deret | Uji |
|---|---|
| Suku tidak menuju 0 | Uji divergensi |
| Geometri / deret-\(p\) | Rumus langsung |
| Teleskop | Jumlah parsial |
| \(f(n)\) mudah diintegralkan | Uji integral |
| Rasional, akar, pangkat | Perbandingan / perbandingan limit |
| Berganti tanda | Leibniz; periksa kemutlakan |
| Faktorial, \(c^n\), hasil kali | Uji rasio |
| Berbentuk \((\ldots)^n\) | Uji akar |
6. Kesalahan umum
- Menyimpulkan konvergen dari \(L=1\) pada uji rasio atau akar.
- Menganggap kekonvergenan bersyarat sama baiknya dengan mutlak: hanya yang mutlak boleh disusun ulang bebas.
- Lupa nilai mutlak pada rasio untuk deret berganti tanda.
- Salah menghitung \(a_{n+1}\): ganti setiap \(n\) dengan \(n+1\), termasuk faktorial dan pangkat.
7. Ringkasan
- Mutlak \(\Rightarrow\) konvergen; sebaliknya tidak berlaku (harmonik berganti tanda).
- Uji rasio: \(L=\lim|a_{n+1}/a_n|\); \(\lt1\) konvergen mutlak, \(\gt1\) divergen, \(=1\) tak tentu.
- Uji akar: \(L=\lim\sqrt[n]{|a_n|}\), aturan sama.
- Penyusunan ulang aman hanya untuk deret konvergen mutlak.
Subbab berikutnya, 11.7, merangkum semua uji menjadi strategi memilih.