Sekarang kita menyelesaikan persamaan yang ruas kanannya tidak nol: \[ ay''+by'+cy=G(x). \tag{1} \] Ruas kanan \(G\) mewakili gaya luar atau masukan. Ada dua metode utama: koefisien tak tentu dan variasi parameter.
1. Struktur penyelesaian
Penyelesaian umum (1) adalah \[ y(x)=y_p(x)+y_c(x), \] dengan \(y_p\) satu penyelesaian khusus (partikular) (1) dan \(y_c\) penyelesaian umum persamaan homogen terkait \(ay''+by'+cy=0\) (disebut penyelesaian komplementer, 17.1).
Bukti. Misalkan \(y\) penyelesaian apa saja dan \(y_p\) satu penyelesaian khusus. Maka \(a(y-y_p)''+b(y-y_p)'+c(y-y_p)=G-G=0\), sehingga \(y-y_p\) memenuhi persamaan homogen, yaitu \(y-y_p=y_c\) untuk suatu pilihan \(c_1,c_2\). \(\blacksquare\)
2. Koefisien tak tentu
Bila \(G\) berupa polinomial, eksponensial, sinus/cosinus, atau hasil kali/jumlah keduanya, kita menebak bentuk \(y_p\) dengan koefisien yang dicari.
| \(G(x)\) | Tebakan \(y_p\) |
|---|---|
| \(P_n(x)\) (polinomial derajat \(n\)) | \(A_nx^n+\cdots+A_1x+A_0\) |
| \(e^{sx}\) | \(Ae^{sx}\) |
| \(\cos\omega x\) atau \(\sin\omega x\) | \(A\cos\omega x+B\sin\omega x\) |
| \(P_n(x)e^{sx}\) | \(Q_n(x)e^{sx}\) (polinomial umum derajat \(n\)) |
| \(e^{sx}\cos\omega x\) atau \(e^{sx}\sin\omega x\) | \(e^{sx}(A\cos\omega x+B\sin\omega x)\) |
Aturan modifikasi: bila ada suku tebakan yang juga merupakan penyelesaian homogen (muncul dalam \(y_c\)), kalikan seluruh tebakan dengan \(x\) (atau \(x^2\) bila akar ganda) sampai tidak ada suku yang sama dengan suku \(y_c\).
\(y''+3y'+2y=x^2\). Homogen: \(r^2+3r+2=(r+1)(r+2)\), \(y_c=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}\). Tebakan \(y_p=Ax^2+Bx+C\): \(2A+3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C)=x^2\). Samakan koefisien: \(x^2\): \(2A=1\Rightarrow A=\frac12\); \(x\): \(6A+2B=0\Rightarrow B=-\frac32\); konstanta: \(2A+3B+2C=0\Rightarrow C=\frac74\). \(y_p=\frac12x^2-\frac32x+\frac74\). Dengan \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\): \(c_1+c_2=-\frac34\), \(-c_1-2c_2=\frac32\Rightarrow c_2=-\frac34\), \(c_1=0\). \(y=\tfrac12x^2-\tfrac32x+\tfrac74-\tfrac34e^{-2x}\).
\(y''+4y=e^{3x}\). \(y_c=c_1\cos2x+c_2\sin2x\). Tebakan \(y_p=Ae^{3x}\): \(9A+4A=1\Rightarrow A=\frac1{13}\). \(y=\frac1{13}e^{3x}+c_1\cos2x+c_2\sin2x\).
\(y''-3y'+2y=\sin x\). \(y_c=c_1e^x+c_2e^{2x}\). Tebakan \(y_p=A\cos x+B\sin x\) (kedua suku walau ruas kanan hanya sinus, karena \(y'\) membawa cosinus). \(y_p'=-A\sin x+B\cos x\), \(y_p''=-A\cos x-B\sin x\). Substitusi: \(\cos x\): \(-A-3B+2A=A-3B=0\); \(\sin x\): \(-B+3A+2B=3A+B=1\). Jadi \(A=3B\), \(10B=1\): \(y_p=\dfrac{3\cos x+\sin x}{10}\).
\(y''+y=\cos x\). \(y_c=c_1\cos x+c_2\sin x\). Tebakan \(A\cos x+B\sin x\) sama dengan \(y_c\) dan menghasilkan 0. Kalikan dengan \(x\): \(y_p=x(A\cos x+B\sin x)\). \(y_p''=2(-A\sin x+B\cos x)+x(-A\cos x-B\sin x)\), jadi \(y_p''+y_p=-2A\sin x+2B\cos x=\cos x\Rightarrow A=0\), \(B=\frac12\). \(y_p=\tfrac12x\sin x\). Amplitudo tumbuh tanpa batas: gejala resonansi (17.3).
\(y''-2y'+y=e^x\). \(y_c=(c_1+c_2x)e^x\). \(e^x\) dan \(xe^x\) sudah ada di \(y_c\), jadi tebakan \(y_p=Ax^2e^x\). \(y_p'=(2Ax+Ax^2)e^x\), \(y_p''=(2A+4Ax+Ax^2)e^x\). \(y_p''-2y_p'+y_p=2Ae^x=e^x\Rightarrow A=\frac12\). \(y=(c_1+c_2x+\tfrac12x^2)e^x\).
\(y''+y'-2y=x+e^{-x}\). Pakai superposisi: selesaikan terpisah untuk \(G_1=x\) dan \(G_2=e^{-x}\), lalu jumlahkan. Homogen: \(r^2+r-2=(r+2)(r-1)\), akar \(-2,1\), jadi tidak ada tabrakan. Untuk \(G_1=x\): \(y_{p1}=Ax+B\), \(y_{p1}'=A\), sehingga \(A-2(Ax+B)=x\): \(-2A=1\Rightarrow A=-\frac12\), dan \(A-2B=0\Rightarrow B=-\frac14\). Untuk \(G_2=e^{-x}\): \(y_{p2}=Ce^{-x}\), \((1-1-2)Ce^{-x}=e^{-x}\Rightarrow C=-\frac12\). Jadi \(y_p=-\tfrac12x-\tfrac14-\tfrac12e^{-x}\) dan \(y=c_1e^{-2x}+c_2e^x+y_p\).
3. Variasi parameter
Metode ini berlaku untuk sembarang \(G\) (dan bahkan koefisien tidak konstan), asalkan penyelesaian homogen diketahui.
Untuk \(y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)\) (koefisien utama 1), misalkan \(y_1,y_2\) dua penyelesaian homogen yang bebas linear dengan Wronskian \(W=y_1y_2'-y_1'y_2\). Maka \[ y_p=-y_1\int\frac{y_2\,g}{W}\,dx+y_2\int\frac{y_1\,g}{W}\,dx. \]
Gagasan. Cari \(y_p=u_1y_1+u_2y_2\) ("mengubah" konstanta menjadi fungsi). Pilih syarat \(u_1'y_1+u_2'y_2=0\) agar \(y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'\). Substitusi ke persamaan memberi \(u_1'y_1'+u_2'y_2'=g\). Dua persamaan linear untuk \(u_1',u_2'\) dengan determinan \(W\) menghasilkan \(u_1'=-\frac{y_2g}W\), \(u_2'=\frac{y_1g}W\) (aturan Cramer).
\(y_1=\cos x\), \(y_2=\sin x\), \(W=1\). \(u_1'=-\sin x\tan x=-\dfrac{\sin^2x}{\cos x}=\cos x-\sec x\), \(u_1=\sin x-\ln|\sec x+\tan x|\). \(u_2'=\cos x\tan x=\sin x\), \(u_2=-\cos x\). \(y_p=u_1\cos x+u_2\sin x=\sin x\cos x-\cos x\ln|\sec x+\tan x|-\sin x\cos x=-\cos x\ln|\sec x+\tan x|\). Penyelesaian umum: \(y=c_1\cos x+c_2\sin x-\cos x\ln|\sec x+\tan x|\). (Koefisien tak tentu tidak dapat dipakai untuk \(\tan x\).)
\(y''+4y'+4y=\dfrac{e^{-2x}}x\), \(x\gt0\). \(y_1=e^{-2x}\), \(y_2=xe^{-2x}\), \(W=e^{-4x}\). \(u_1'=-\dfrac{xe^{-2x}\cdot e^{-2x}/x}{e^{-4x}}=-1\Rightarrow u_1=-x\). \(u_2'=\dfrac{e^{-2x}\cdot e^{-2x}/x}{e^{-4x}}=\dfrac1x\Rightarrow u_2=\ln x\). \(y_p=-xe^{-2x}+xe^{-2x}\ln x\). Suku \(-xe^{-2x}\) dapat digabung ke \(c_2xe^{-2x}\), jadi \(y=(c_1+c_2x)e^{-2x}+xe^{-2x}\ln x\).
Periksa \(y_p=-\cos x\ln(\sec x+\tan x)\) pada Contoh 7: \(y_p'=\sin x\ln(\sec x+\tan x)-\cos x\cdot\sec x=\sin x\ln(\cdot)-1\), \(y_p''=\cos x\ln(\cdot)+\sin x\sec x=\cos x\ln(\cdot)+\tan x\). \(y_p''+y_p=\tan x\). Cocok.
4. Memilih metode
| Situasi | Metode |
|---|---|
| Koefisien konstan, \(G\) polinomial/eksponensial/trigonometri | Koefisien tak tentu (lebih cepat) |
| \(G\) sembarang (\(\tan x\), \(1/x\), \(\ln x\), \(\sec x\)) | Variasi parameter |
| Koefisien tidak konstan, \(y_1,y_2\) diketahui | Variasi parameter |
5. Kesalahan umum
- Lupa bahwa syarat awal diterapkan pada \(y=y_p+y_c\), bukan pada \(y_c\) saja.
- Tebakan \(\cos\) hanya untuk ruas kanan \(\cos\): selalu sertakan \(\sin\) juga.
- Tidak memodifikasi tebakan yang bertabrakan dengan \(y_c\).
- Memakai variasi parameter tanpa membagi persamaan sehingga koefisien \(y''\) sama dengan 1.
6. Ringkasan
- \(y=y_p+y_c\).
- Koefisien tak tentu: tebak bentuk \(y_p\), modifikasi bila bertabrakan dengan \(y_c\).
- Variasi parameter: \(y_p=-y_1\int\frac{y_2g}W+y_2\int\frac{y_1g}W\).
Berikutnya 17.3 Penerapan.