Parabola, elips, dan hiperbola disebut irisan kerucut (conic sections) karena masing-masing adalah hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang, dengan kemiringan bidang yang menentukan jenisnya. Dalam bagian ini kita memberi definisi geometris yang berdiri sendiri (tanpa kerucut) dan menurunkan persamaan bakunya.
1. Parabola
Parabola adalah himpunan titik di bidang yang berjarak sama dari sebuah titik tetap \(F\) (fokus) dan sebuah garis tetap (direktriks). Titik tengah antara fokus dan direktriks (pada garis tegak lurus direktriks melalui \(F\)) terletak pada parabola dan disebut puncak. Garis tegak lurus direktriks melalui fokus disebut sumbu parabola.
Menurunkan persamaan
Letakkan puncak di titik asal dan direktriks mendatar: fokus \(F(0,p)\), direktriks \(y=-p\). Titik \(P(x,y)\) memenuhi \(|PF|=\) jarak ke direktriks: \[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \] Kuadratkan: \(x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2\), sehingga
Ekivalen dengan \(y=ax^2\) dengan \(a=\dfrac1{4p}\).
Parabola \(y^2+10x=0\). Tulis \(y^2=-10x\), cocokkan dengan \(y^2=4px\): \(4p=-10\Rightarrow p=-\tfrac52\). Fokus \((-\tfrac52,0)\), direktriks \(x=\tfrac52\), terbuka ke kiri.
Parabola dipakai pada lampu depan mobil, teleskop pantul, dan jembatan gantung. Sifat pantulnya: sinar yang sejajar sumbu dipantulkan melewati fokus (dan sebaliknya).
2. Elips
Elips adalah himpunan titik \(P\) yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap \(F_1,F_2\) (fokus) konstan: \(|PF_1|+|PF_2|=2a\) (dengan \(2a>|F_1F_2|\)).
Hukum pertama Kepler: orbit planet berupa elips dengan Matahari di salah satu fokus.
Menurunkan persamaan
Letakkan fokus di \((\pm c,0)\). Syaratnya \(\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\). Pindahkan satu akar dan kuadratkan: \[ \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\ \Rightarrow\ x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2+y^2. \] Sederhanakan: \(a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx\). Kuadratkan lagi: \(a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2\), sehingga \((a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\). Dari segitiga \(F_1F_2P\) kita tahu \(2c\lt 2a\), jadi \(a^2-c^2>0\); definisikan \(b^2=a^2-c^2\). Pembagian dengan \(a^2b^2\) memberi
Bila \(c=0\) (dua fokus berimpit), \(a=b\) dan elips menjadi lingkaran jari-jari \(a\).
\(9x^2+16y^2=144\). Bagi dengan 144: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\), \(a=4,\ b=3\). \(c^2=16-9=7\), fokus \((\pm\sqrt7,0)\), puncak \((\pm4,0)\), titik potong sumbu \(y\): \((0,\pm3)\).
Fokus \((0,\pm2)\), puncak \((0,\pm3)\): fokus di sumbu \(y\), \(c=2,\ a=3\), \(b^2=9-4=5\). Persamaan \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\), atau \(9x^2+5y^2=45\).
Sifat pantul: cahaya atau bunyi dari satu fokus dipantulkan ke fokus lain. Prinsip ini dipakai pada litotripsi (penghancur batu ginjal dengan gelombang kejut) dan pada whispering gallery.
3. Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan titik \(P\) yang selisih jaraknya ke dua fokus \(F_1,F_2\) konstan: \(\bigl||PF_1|-|PF_2|\bigr|=2a\).
Turunannya paralel dengan elips (dengan selisih menggantikan jumlah, dan \(c>a\)): dengan fokus \((\pm c,0)\) dan \(b^2=c^2-a^2\),
Cara menggambar: gambar dulu persegi panjang dengan sisi \(2a\) dan \(2b\) berpusat di titik pusat, tarik diagonalnya sebagai asimtot, lalu lukis cabang yang bersinggungan dengan puncak dan mendekati asimtot.
\(9x^2-16y^2=144\to\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\). \(a=4,\ b=3,\ c=5\). Fokus \((\pm5,0)\), puncak \((\pm4,0)\), asimtot \(y=\pm\tfrac34x\).
Puncak \((0,\pm1)\), asimtot \(y=\pm2x\). Fokus pada sumbu \(y\), \(a=1\); asimtot \(y=\pm\tfrac abx\Rightarrow\tfrac1b=2\Rightarrow b=\tfrac12\). \(c^2=1+\tfrac14=\tfrac54\), fokus \((0,\pm\tfrac{\sqrt5}2)\); persamaan \(y^2-4x^2=1\).
Hiperbola muncul dalam hukum Boyle, hukum Ohm, kurva penawaran dan permintaan, dan sistem navigasi LORAN (stasiun radio di titik \(A,B\); selisih waktu tiba sinyal \(\Rightarrow\) selisih jarak \(\Rightarrow\) kapal berada pada satu cabang hiperbola dengan fokus \(A,B\)).
4. Irisan kerucut yang digeser
Untuk menggeser pusat/puncak ke \((h,k)\), ganti \(x\) dengan \(x-h\) dan \(y\) dengan \(y-k\) pada semua persamaan baku (lihat Lampiran C buku).
Fokus \((-1,2),(5,2)\), puncak \((-2,2),(6,2)\). Pusat adalah titik tengah: \((2,2)\). Panjang sumbu mayor \(=8\Rightarrow a=4\); jarak fokus \(=6\Rightarrow c=3\); \(b^2=16-9=7\). Persamaan: \[ \frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y-2)^2}{7}=1. \]
\(9x^2-4y^2-72x+8y+176=0\). Kelompokkan: \(9(x^2-8x)-4(y^2-2y)=-176\). Lengkapkan kuadrat: \(9(x-4)^2-4(y-1)^2=-176+144-4=-36\). Bagi dengan \(-36\): \[ \frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x-4)^2}{4}=1. \] Hiperbola dengan fokus pada garis vertikal \(x=4\): \(a=3,\ b=2,\ c=\sqrt{13}\), pusat \((4,1)\); puncak \((4,4),(4,-2)\); fokus \((4,1\pm\sqrt{13})\); asimtot \(y-1=\pm\tfrac32(x-4)\).
5. Pendekatan numerik untuk keliling elips
Keliling elips \(x=a\sin\theta,\ y=b\cos\theta\) adalah integral eliptik \(L=4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-e^2\sin^2\theta}\,d\theta\) dengan \(e=c/a\) — tidak punya antiturunan elementer. Gunakan integral numerik (Simpson). Dengan kalkulator Python: panjang kurva parametrik \(x=3\cos(t),\ y=2\sin(t)\), \(0\) sampai \(2*pi\), memberi \(\approx15.865\).
6. Ringkasan
| Parabola | Elips | Hiperbola | |
|---|---|---|---|
| Definisi | \(|PF|=d(P,\ell)\) | \(|PF_1|+|PF_2|=2a\) | \(||PF_1|-|PF_2||=2a\) |
| Persamaan baku | \(x^2=4py\) | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) |
| Hubungan | — | \(c^2=a^2-b^2\) | \(c^2=a^2+b^2\) |
| Eksentrisitas \(e\) | 1 | \(c/a\lt 1\) | \(c/a>1\) |