Pada integral satu peubah, substitusi \(x=g(u)\) mengubah \(\int f(x)\,dx\) menjadi \(\int f(g(u))\,g'(u)\,du\). Koordinat kutub, tabung, dan bola adalah substitusi khusus untuk integral ganda. Subbab ini memberi aturan umumnya, dengan Jacobian menggantikan \(g'(u)\).
1. Transformasi
Transformasi \(T\) dari bidang \(uv\) ke bidang \(xy\): \(T(u,v)=(x,y)\) dengan \(x=g(u,v)\), \(y=h(u,v)\), dengan \(g,h\) mempunyai turunan parsial kontinu. Bila \(T\) satu-satu, \(T\) memetakan daerah \(S\) di bidang \(uv\) ke daerah \(R\) di bidang \(xy\) (\(R=T(S)\)), dan kita dapat berpindah bolak-balik.
\(T:\ x=2u+v,\ y=u+3v\). Persegi satuan \(S=[0,1]^2\) dipetakan menjadi jajargenjang dengan titik sudut \(T(0,0)=(0,0)\), \(T(1,0)=(2,1)\), \(T(1,1)=(3,4)\), \(T(0,1)=(1,3)\). Luas jajargenjang \(=|\langle2,1\rangle\times\langle1,3\rangle|=|6-1|=5\): luas \(S\) (yaitu 1) dikalikan \(5\).
2. Jacobian
Jacobian \(T\): \[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}. \]
Gagasan. Persegi kecil \(\Delta u\times\Delta v\) dipetakan hampir menjadi jajargenjang yang dibentangkan oleh \(\mathbf r_u\Delta u\) dan \(\mathbf r_v\Delta v\) (dengan \(\mathbf r=\langle x,y\rangle\)). Luasnya \(|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\Delta u\Delta v=\bigl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|\Delta u\Delta v\). Jadi Jacobian adalah faktor penskalaan luas lokal.
- Linear di Contoh 1: \(\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}=5\).
- Kutub \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\): \(\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r\). (Inilah asal faktor \(r\) di \(dA=r\,dr\,d\theta\).)
- \(x=au\), \(y=bv\): Jacobian \(ab\).
- \(x=u^2-v^2\), \(y=2uv\): \(\begin{vmatrix}2u&-2v\\2v&2u\end{vmatrix}=4u^2+4v^2\).
3. Rumus perubahan peubah
Misalkan \(T\) transformasi \(C^1\) satu-satu dengan Jacobian tak nol, memetakan \(S\) pada \(R\). Untuk \(f\) kontinu, \[ \iint_Rf(x,y)\,dA=\iint_Sf\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\Bigl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr|\,du\,dv. \] Perhatikan tanda nilai mutlak.
- Pilih \(u,v\) sehingga daerah \(R\) menjadi sederhana (mis. persegi panjang) dan/atau integran menjadi sederhana.
- Selesaikan \(x,y\) dalam \(u,v\) dan hitung \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\) (atau hitung \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) dan balik: \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\big/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\)).
- Tentukan batas baru di bidang \(uv\), lalu hitung.
\(\iint_Rxy\,dA\) dengan \(R=T(S)\), \(S=[0,1]^2\), \(T\) pada Contoh 1. \(xy=(2u+v)(u+3v)=2u^2+7uv+3v^2\). \(\displaystyle\iint_Rxy\,dA=5\int_0^1\int_0^1(2u^2+7uv+3v^2)\,du\,dv=5\Bigl(\tfrac23+\tfrac74+1\Bigr)=5\cdot\tfrac{41}{12}=\tfrac{205}{12}\approx17{,}08\).
Daerah \(R:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1\). Substitusi \(x=au\), \(y=bv\), \(J=ab\); \(S\): cakram \(u^2+v^2\le1\). Luas \(=\iint_Sab\,du\,dv=\pi ab\). Juga \(\iint_Rx^2\,dA=a^3b\iint_Su^2\,du\,dv=a^3b\cdot\tfrac\pi4\). Untuk \(a=2,b=1\): \(\iint x^2\,dA=2\pi\).
Cari luas daerah \(R\) di kuadran pertama yang dibatasi \(xy=1\), \(xy=4\), \(y=x\), \(y=4x\). Pilih \(u=xy\), \(v=\dfrac yx\): \(R\) menjadi persegi \(1\le u\le4\), \(1\le v\le4\). Hitung \(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}y&x\\-\dfrac y{x^2}&\dfrac1x\end{vmatrix}=\dfrac yx+\dfrac yx=2v\). Maka \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\dfrac1{2v}\). Luas \(=\int_1^4\int_1^4\dfrac1{2v}\,dv\,du=3\cdot\tfrac12\ln4=\tfrac32\ln4=3\ln2\approx2{,}079\).
\(\displaystyle\iint_R\exp\Bigl(\frac{x-y}{x+y}\Bigr)dA\), \(R\) segitiga \((0,0),(1,0),(0,1)\). Misalkan \(u=x+y\), \(v=x-y\); maka \(x=\frac{u+v}2\), \(y=\frac{u-v}2\), \(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac12&\frac12\\\frac12&-\frac12\end{vmatrix}=-\tfrac12\), nilai mutlak \(\tfrac12\). Daerah: \(x\ge0,y\ge0,x+y\le1\) menjadi \(0\le u\le1\), \(-u\le v\le u\). \(\displaystyle\iint=\tfrac12\int_0^1\int_{-u}^ue^{v/u}\,dv\,du=\tfrac12\int_0^1u\bigl(e-e^{-1}\bigr)du=\dfrac{e-e^{-1}}4\approx0{,}588\).
\(\iint_Dx\,dA\) pada cakram \((x-1)^2+y^2\le1\): geser \(x=1+u\), \(y=v\) (\(J=1\)): \(\iint_{u^2+v^2\le1}(1+u)\,du\,dv=\pi+0=\pi\), sama dengan 15.4 Contoh 5.
4. Tiga peubah
Untuk \(T(u,v,w)=(x,y,z)\): \[ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v&x_w\\y_u&y_v&y_w\\z_u&z_v&z_w\end{vmatrix},\qquad\iiint_Rf\,dV=\iiint_Sf\,\Bigl|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\Bigr|\,du\,dv\,dw. \]
- Tabung: \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), \(z=z\): determinan \(=r\) (sama dengan kutub).
- Bola: \(x=\rho\sin\phi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\phi\sin\theta\), \(z=\rho\cos\phi\): determinan terhadap \((\rho,\phi,\theta)\) bernilai mutlak \(\rho^2\sin\phi\), sehingga \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\) (15.9).
\(x=u+v\), \(y=v+w\), \(z=w+u\): \(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=1(1-0)-1(0-1)+0=2\). Kubus satuan di \(uvw\) dipetakan ke jajaran genjang tiga dimensi (parallelepiped) bervolume 2.
Elipsoid \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1\): \(x=au,y=bv,z=cw\), \(J=abc\), \(S\) bola satuan: \(V=abc\cdot\tfrac43\pi=\tfrac43\pi abc\).
5. Kesalahan umum
- Lupa nilai mutlak pada Jacobian (luas tak boleh negatif).
- Memakai \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) padahal yang dibutuhkan \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\) (saling berkebalikan).
- Tidak mengubah batas daerah ke koordinat baru.
- Transformasi yang tidak satu-satu (mis. \(u=x^2\) pada daerah yang memuat \(x\) positif dan negatif).
6. Ringkasan
- \(dA=\bigl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|\,du\,dv\); \(dV=\bigl|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\bigr|\,du\,dv\,dw\).
- Kutub: \(J=r\); tabung: \(J=r\); bola: \(J=\rho^2\sin\phi\).
- Pilih transformasi yang menyederhanakan daerah atau integran.
Bab 15 berakhir di sini. Bab berikutnya, 16.1, membahas medan vektor dan integral garis.