Persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan menggambarkan banyak sistem osilasi: pegas dan peredam, bandul kecil, rangkaian listrik RLC. Matematikanya sama; hanya tafsir peubahnya berbeda.
1. Getaran pegas
Sebuah benda bermassa \(m\) digantung pada pegas. Misalkan \(x(t)\) adalah simpangan dari posisi seimbang (arah ke bawah positif). Gaya yang bekerja:
- gaya pemulih pegas (hukum Hooke): \(-kx\), dengan \(k\gt0\) konstanta pegas;
- gaya redaman (kekentalan): \(-c\,x'\), dengan \(c\ge0\) koefisien redaman;
- gaya luar \(F(t)\) (bila ada).
Hukum II Newton \(mx''=-kx-cx'+F(t)\) memberikan \[ mx''+cx'+kx=F(t). \tag{1} \]
Getaran bebas tanpa redaman
\(c=0\), \(F=0\): \(mx''+kx=0\), karakteristik \(mr^2+k=0\), \(r=\pm i\omega_0\) dengan \(\omega_0=\sqrt{k/m}\). \[ x(t)=c_1\cos\omega_0t+c_2\sin\omega_0t=A\cos(\omega_0t-\delta),\quad A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}. \] Gerak harmonik sederhana dengan frekuensi sudut \(\omega_0\), periode \(T=\frac{2\pi}{\omega_0}\), amplitudo \(A\) tetap.
Benda 2 kg pada pegas dengan \(k=18\) N/m, ditarik 0,5 m ke bawah lalu dilepas. \(\omega_0=\sqrt{18/2}=3\) rad/s, \(T=\frac{2\pi}3\approx2{,}09\) s. \(x(0)=0{,}5\), \(x'(0)=0\): \(x=0{,}5\cos3t\). Laju maksimum \(A\omega_0=1{,}5\) m/s (terjadi di posisi seimbang).
Getaran bebas teredam
\(mx''+cx'+kx=0\). Karakteristik \(mr^2+cr+k=0\), diskriminan \(c^2-4mk\):
- Lewat teredam (\(c^2\gt4mk\)): dua akar real negatif \(r_1,r_2\); \(x=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\). Tidak berosilasi; kembali ke keseimbangan perlahan (pegas dalam oli kental).
- Teredam kritis (\(c^2=4mk\)): \(x=(c_1+c_2t)e^{rt}\), \(r=-\frac c{2m}\). Kembali ke keseimbangan tercepat tanpa berosilasi (peredam pintu, suspensi ideal).
- Kurang teredam (\(c^2\lt4mk\)): \(r=-\frac c{2m}\pm i\omega\), \(\omega=\frac{\sqrt{4mk-c^2}}{2m}\); \(x=e^{-ct/2m}(c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t)\). Berosilasi dengan amplitudo meluruh eksponensial.
\(x''+2x'+5x=0\) (\(m=1,c=2,k=5\)): \(c^2-4mk=4-20\lt0\). \(r=-1\pm2i\). \(x(0)=1\), \(x'(0)=0\): \(c_1=1\), \(x'(0)=-c_1+2c_2=0\Rightarrow c_2=\frac12\). \(x=e^{-t}\bigl(\cos2t+\tfrac12\sin2t\bigr)\). Nilai pada \(t=1\): \(\approx0{,}0142\) (meluruh cepat). Frekuensi sudut teredam 2, lebih kecil dari frekuensi alami \(\sqrt5\approx2{,}236\).
- \(x''+4x'+4x=0\), \(x(0)=1\), \(x'(0)=0\): \(r=-2\) ganda, \(x=(c_1+c_2t)e^{-2t}\), \(c_1=1\), \(c_2-2=0\Rightarrow c_2=2\). \(x=(1+2t)e^{-2t}\), selalu positif; tidak melewati keseimbangan.
- \(x''+5x'+4x=0\), \(x(0)=1\), \(x'(0)=0\): \(r=-1,-4\); \(c_1+c_2=1\), \(-c_1-4c_2=0\Rightarrow c_2=-\frac13\), \(c_1=\frac43\). \(x=\frac43e^{-t}-\frac13e^{-4t}\).
2. Getaran paksa dan resonansi
Bila gaya luar periodik \(F(t)=F_0\cos\omega t\):
Tanpa redaman
\(mx''+kx=F_0\cos\omega t\), penyelesaian \(x=c_1\cos\omega_0t+c_2\sin\omega_0t+x_p\). Untuk \(\omega\ne\omega_0\): \(x_p=\dfrac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos\omega t\). Bila \(\omega=\omega_0\) terjadi resonansi: \(x_p=\dfrac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin\omega_0t\), amplitudo tumbuh linear tanpa batas.
\(x''+9x=\cos3t\) (\(m=1\), \(\omega_0=3\), \(F_0=1\)). Tebakan \(x_p=t(A\cos3t+B\sin3t)\); hasilnya \(x_p=\frac t6\sin3t\). Dengan \(x(0)=x'(0)=0\): \(x=\frac t6\sin3t\). Amplitudo \(\frac t6\) tumbuh tanpa batas (pada \(t=30\) s sudah 5 m). Pada sistem nyata, redaman atau kegagalan struktural membatasinya (jembatan, gelas yang pecah oleh nada).
Dengan redaman
Untuk \(mx''+cx'+kx=F_0\cos\omega t\), bagian komplementer meluruh (transien) dan yang bertahan adalah keadaan tunak \(x_p=A\cos(\omega t-\alpha)\) dengan amplitudo \[ A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}. \] Amplitudo maksimum terjadi di \(\omega=\sqrt{\frac km-\frac{c^2}{2m^2}}\) (bila \(c^2\lt2mk\)): resonansi praktis. Makin kecil \(c\), makin tinggi puncak.
\(m=1\), \(c=0{,}5\), \(k=4\), \(F_0=2\). \(A(\omega)=\dfrac2{\sqrt{(4-\omega^2)^2+0{,}25\omega^2}}\). \(A(1)\approx0{,}658\); \(A(2)=\dfrac2{\sqrt{0+1}}=2\); puncak di \(\omega=\sqrt{4-0{,}125}\approx1{,}969\) dengan \(A\approx2{,}016\). Puncak sedikit di bawah frekuensi alami \(\omega_0=2\).
3. Rangkaian listrik RLC
Rangkaian seri dengan induktor \(L\) (henry), resistor \(R\) (ohm), kapasitor \(C\) (farad), dan sumber tegangan \(E(t)\) (volt). Muatan \(Q(t)\) pada kapasitor, arus \(I=Q'\). Hukum tegangan Kirchhoff: \(LI'+RI+\frac QC=E\), yaitu \[ LQ''+RQ'+\frac1CQ=E(t). \tag{2} \] Ini sama dengan (1) dengan \(m\leftrightarrow L\), \(c\leftrightarrow R\), \(k\leftrightarrow1/C\), \(x\leftrightarrow Q\), \(F\leftrightarrow E\): induktor \(\leftrightarrow\) massa, resistor \(\leftrightarrow\) redaman, kapasitor \(\leftrightarrow\) pegas.
\(L=1\) H, \(R=6\) \(\Omega\), \(C=\frac1{13}\) F, \(E=12\) V (konstan), \(Q(0)=0\), \(I(0)=0\). \(Q''+6Q'+13Q=12\). Karakteristik \(r=-3\pm2i\). \(Q_p=\frac{12}{13}\). \(Q=\frac{12}{13}+e^{-3t}(c_1\cos2t+c_2\sin2t)\). \(Q(0)=0\Rightarrow c_1=-\frac{12}{13}\). \(Q'(0)=-3c_1+2c_2=0\Rightarrow c_2=-\frac{18}{13}\). \(Q(t)=\frac{12}{13}-\frac{e^{-3t}}{13}(12\cos2t+18\sin2t)\). Muatan mendekati \(\frac{12}{13}\approx0{,}923\) C (\(=CE\)) setelah osilasi teredam; \(Q(1)\approx0{,}880\) C. Arus \(I=Q'\to0\).
Rangkaian dengan \(L=0{,}5\) H dan \(C=2\) \(\mu\)F beresonansi pada \(\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}=\frac1{\sqrt{10^{-6}}}=1000\) rad/s, yaitu \(f=\frac{\omega_0}{2\pi}\approx159\) Hz. Prinsip ini dipakai untuk menala radio.
4. Bandul sederhana
Bandul panjang \(L\) dengan sudut simpangan \(\theta\): \(\theta''+\frac gL\sin\theta=0\). Untuk sudut kecil \(\sin\theta\approx\theta\): \(\theta''+\frac gL\theta=0\), \(\omega_0=\sqrt{g/L}\), periode \(T=2\pi\sqrt{L/g}\). Untuk \(L=1\) m: \(T=2\pi/\sqrt{9{,}8}\approx2{,}007\) s. Galat hampiran kecil bila amplitudo di bawah sekitar \(15^\circ\).
5. Kesalahan umum
- Menganggap redaman selalu menyebabkan osilasi: hanya bila \(c^2\lt4mk\).
- Menyamakan frekuensi teredam dengan frekuensi alami.
- Menerapkan syarat awal pada \(x_p\) saja, bukan pada penyelesaian lengkap.
- Satuan yang tidak konsisten (mis. \(C\) dalam \(\mu\)F tanpa mengubah ke F).
6. Ringkasan
- \(mx''+cx'+kx=F(t)\); \(\omega_0=\sqrt{k/m}\).
- Redaman: lewat, kritis, kurang; hanya kurang yang berosilasi.
- Resonansi saat \(\omega=\omega_0\) (tanpa redaman: amplitudo tak terbatas).
- RLC: \(LQ''+RQ'+Q/C=E\), analog sistem pegas.
Subbab terakhir, 17.4, memberi metode deret pangkat.