Banyak masalah optimasi mempunyai kendala: memaksimalkan hasil dengan anggaran tertentu, meminimalkan bahan dengan volume tertentu. Metode pengali Lagrange menangani ini tanpa harus menyelesaikan kendala secara eksplisit.
1. Gagasan geometris
Maksimalkan \(f(x,y)\) dengan kendala \(g(x,y)=k\). Kurva kendala \(g=k\) adalah sebuah kurva di bidang. Kita memakai kurva ketinggian \(f=c\) dan menaikkan \(c\) sejauh masih menyentuh kurva kendala. Nilai \(c\) terbesar tercapai pada titik di mana kurva ketinggian menyinggung kurva kendala. Di titik singgung, keduanya mempunyai garis singgung sama, jadi gradiennya sejajar: \[ \nabla f=\lambda\nabla g. \]
2. Metode
Untuk mencari ekstrem \(f(x,y,z)\) dengan kendala \(g(x,y,z)=k\) (dengan \(\nabla g\ne\mathbf0\)):
- Selesaikan sistem \(\nabla f=\lambda\nabla g\) dan \(g=k\); yaitu \(f_x=\lambda g_x\), \(f_y=\lambda g_y\), \(f_z=\lambda g_z\), \(g=k\).
- Hitung \(f\) di semua titik \((x,y,z)\) hasilnya. Terbesar \(=\) maksimum, terkecil \(=\) minimum (bila ekstrem ada).
\(\lambda\) disebut pengali Lagrange. Hal yang sama berlaku untuk dua peubah (hilangkan \(z\)).
Catatan. Bila \(g\) berupa kurva tertutup dan terbatas (lingkaran, elips, dsb.), teorema nilai ekstrem menjamin ekstrem ada. Pada kendala tak terbatas (mis. hiperbola), periksa dengan cara lain apakah titik yang ditemukan memang maksimum atau minimum.
Maksimalkan dan minimalkan \(f=x+2y\) dengan \(x^2+y^2=1\). \(\nabla f=\langle1,2\rangle=\lambda\langle2x,2y\rangle\Rightarrow x=\frac1{2\lambda}\), \(y=\frac1\lambda\). Masukkan ke kendala: \(\frac1{4\lambda^2}+\frac1{\lambda^2}=1\Rightarrow\lambda^2=\frac54\), \(\lambda=\pm\frac{\sqrt5}2\). Titik: \(\bigl(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5}\bigr)\) dengan \(f=\sqrt5\) (maksimum) dan \(\bigl(-\frac1{\sqrt5},-\frac2{\sqrt5}\bigr)\) dengan \(f=-\sqrt5\) (minimum). Cocok dengan Cauchy–Schwarz: \(|x+2y|\le\sqrt{1+4}\sqrt{x^2+y^2}\).
Kotak tertutup bervolume \(1000\) cm³ dengan luas permukaan terkecil. \(f=2(xy+yz+zx)\), \(g=xyz=1000\). \(f_x=2(y+z)=\lambda yz\), \(f_y=2(x+z)=\lambda xz\), \(f_z=2(x+y)=\lambda xy\). Kalikan persamaan pertama dengan \(x\), kedua dengan \(y\), ketiga dengan \(z\): \(2x(y+z)=2y(x+z)=2z(x+y)=\lambda xyz\). Dari dua pertama: \(xz=yz\Rightarrow x=y\) (karena \(z\ne0\)); dari yang kedua dan ketiga: \(xy=xz\Rightarrow y=z\). Jadi \(x=y=z=10\) (kubus), luas \(=600\) cm².
Cari ekstrem mutlak \(f=x^2+2y^2-x\) pada cakram \(x^2+y^2\le1\). Dalam: \(f_x=2x-1=0\), \(f_y=4y=0\): \((\frac12,0)\), \(f=-\frac14\). Batas \(x^2+y^2=1\) dengan Lagrange: \(2x-1=2\lambda x\), \(4y=2\lambda y\). Dari yang kedua: \(y=0\) atau \(\lambda=2\). Bila \(y=0\): \(x=\pm1\), \(f(1,0)=0\), \(f(-1,0)=2\). Bila \(\lambda=2\): \(2x-1=4x\Rightarrow x=-\frac12\), \(y^2=\frac34\), \(f=\frac14+\frac32+\frac12=\frac94\) di \(\bigl(-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}2\bigr)\). Maksimum mutlak \(\frac94\); minimum mutlak \(-\frac14\) di \((\frac12,0)\).
Titik pada \(x^2+y^2=4\) yang terjauh dan terdekat ke \((3,4)\)? Minimalkan \(f=(x-3)^2+(y-4)^2\), \(g=x^2+y^2=4\). \(2(x-3)=2\lambda x\), \(2(y-4)=2\lambda y\Rightarrow x=\frac3{1-\lambda}\), \(y=\frac4{1-\lambda}\), jadi \((x,y)\) sejajar \((3,4)\): \((x,y)=s(3,4)\), \(25s^2=4\), \(s=\pm\frac25\). Terdekat \((\frac65,\frac85)\), jarak \(5-2=3\); terjauh \((-\frac65,-\frac85)\), jarak \(5+2=7\). Sesuai gambaran geometris: pusat lingkaran, titik, dan titik ekstrem segaris.
3. Dua kendala
Untuk ekstrem \(f(x,y,z)\) dengan \(g(x,y,z)=k\) dan \(h(x,y,z)=l\): selesaikan \[ \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h,\quad g=k,\quad h=l. \] Artinya \(\nabla f\) terletak pada bidang yang direntang \(\nabla g,\nabla h\) (tegak lurus kurva irisan).
Ekstrem \(f=z\) pada kurva irisan \(x^2+y^2=1\) dan \(x+y+z=2\). \(\langle0,0,1\rangle=\lambda\langle2x,2y,0\rangle+\mu\langle1,1,1\rangle\). Komponen \(z\): \(\mu=1\). Komponen \(x,y\): \(2\lambda x+1=0\), \(2\lambda y+1=0\Rightarrow x=y\). Dari silinder: \(x=y=\pm\frac1{\sqrt2}\). \(z=2-x-y=2\mp\sqrt2\). Maksimum \(2+\sqrt2\approx3{,}414\) di \((-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},2+\sqrt2)\); minimum \(2-\sqrt2\approx0{,}586\). (Sesuai dengan elips irisan, titik tertinggi dan terendah.)
4. Contoh ekonomi dan arti \(\lambda\)
Produksi \(P=L^{0,6}K^{0,4}\). Biaya satu unit tenaga kerja 2 dan modal 5; anggaran 100: \(2L+5K=100\). \(P_L=\frac{0{,}6P}L=2\lambda\), \(P_K=\frac{0{,}4P}K=5\lambda\). Bagi: \(\dfrac{0{,}6K}{0{,}4L}=\dfrac25\Rightarrow K=\dfrac{4}{15}L\). Masukkan: \(2L+\frac43L=100\Rightarrow L=30\), \(K=8\). \(P=30^{0,6}8^{0,4}\approx17{,}68\). Pola umum Cobb–Douglas: \(L\) dan \(K\) memakai bagian anggaran \(0{,}6\) dan \(0{,}4\): \(2L=60\), \(5K=40\).
\(\lambda=\dfrac{dP^*}{d(\text{anggaran})}\): perubahan nilai optimum akibat kenaikan satu satuan batas kendala. Pada Contoh 6: \(\lambda=\frac{P_L}2=\frac{0{,}6P}{2L}\approx0{,}1768\). Verifikasi: bila anggaran dinaikkan menjadi 101, \(L=30{,}3\), \(K=8{,}08\), \(P\) naik \(\approx0{,}1768\). Disebut harga bayangan.
5. Kesalahan umum
- Lupa menyertakan persamaan kendala \(g=k\) dalam sistem.
- Membuang solusi \(x=0\) atau \(y=0\) ketika membagi (seperti pada Contoh 3).
- Tidak membandingkan nilai \(f\) di semua titik kandidat.
- Mengira semua titik kandidat adalah maksimum atau semuanya minimum.
6. Ringkasan
- Ekstrem terkendala: \(\nabla f=\lambda\nabla g\) dan \(g=k\).
- Dua kendala: \(\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h\).
- Pada daerah tertutup: titik kritis dalam + Lagrange pada batas.
- \(\lambda\) adalah laju perubahan optimum terhadap batas kendala.
Bab 14 berakhir di sini. Bab berikutnya, 15.1, memperkenalkan integral rangkap.