Kalkulus fungsi vektor berjalan komponen demi komponen, tetapi tafsir geometrisnya penting: turunan \(\mathbf r'(t)\) adalah vektor singgung pada kurva.
1. Turunan
Turunan fungsi vektor \(\mathbf r\): \[ \mathbf r'(t)=\lim_{h\to0}\frac{\mathbf r(t+h)-\mathbf r(t)}h \] bila limitnya ada. Bila \(\mathbf r(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle\) dengan \(f,g,h\) terturunkan, maka \[ \mathbf r'(t)=\langle f'(t),\ g'(t),\ h'(t)\rangle. \]
Tafsir geometris. \(\mathbf r(t+h)-\mathbf r(t)\) adalah vektor sekan dari titik \(P=\mathbf r(t)\) ke \(Q=\mathbf r(t+h)\). Dibagi \(h\), ia searah sekan; ketika \(h\to0\) arahnya menuju garis singgung. Jadi bila \(\mathbf r'(t)\ne\mathbf0\), vektor \(\mathbf r'(t)\) menyinggung kurva di \(P\), menunjuk ke arah \(t\) membesar.
\[ \mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|}. \] Garis singgung di \(\mathbf r(t_0)\) adalah garis melalui titik itu dengan arah \(\mathbf r'(t_0)\): \(\mathbf L(s)=\mathbf r(t_0)+s\,\mathbf r'(t_0)\).
\(\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle\): \(\mathbf r'(t)=\langle-\sin t,\cos t,1\rangle\), \(|\mathbf r'|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt2\), \(\mathbf T=\frac1{\sqrt2}\langle-\sin t,\cos t,1\rangle\). Di \(t=\pi/4\): titik \(\bigl(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,\frac\pi4\bigr)\), arah \(\bigl\langle-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2,1\bigr\rangle\). Garis singgung: \(\bigl\langle\frac{\sqrt2}2(1-s),\ \frac{\sqrt2}2(1+s),\ \frac\pi4+s\bigr\rangle\).
\(\mathbf r(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\), \(\mathbf r'(t)=\langle1,2t,3t^2\rangle\). Di \(t=1\): titik \((1,1,1)\), arah \(\langle1,2,3\rangle\), garis singgung \(\langle1+s,1+2s,1+3s\rangle\); \(\mathbf T(1)=\frac1{\sqrt{14}}\langle1,2,3\rangle\).
Kurva \(\mathbf r_1(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\) memotong garis \(\mathbf r_2(s)=\langle1+s,1+3s,1+7s\rangle\) di \((1,1,1)\) (\(t=1\), \(s=0\)). Arah singgung: \(\mathbf r_1'(1)=\langle1,2,3\rangle\), \(\mathbf r_2'=\langle1,3,7\rangle\). \(\cos\theta=\dfrac{1+6+21}{\sqrt{14}\sqrt{59}}=\dfrac{28}{28{,}74}\approx0{,}974\), \(\theta\approx13{,}0^\circ\). Sudut antara dua kurva didefinisikan sebagai sudut antara garis singgungnya.
2. Aturan turunan
Misalkan \(\mathbf u,\mathbf v\) fungsi vektor terturunkan, \(c\) skalar, \(f\) fungsi bernilai real. Maka:
- \(\dfrac d{dt}[\mathbf u+\mathbf v]=\mathbf u'+\mathbf v'\)
- \(\dfrac d{dt}[c\mathbf u]=c\mathbf u'\)
- \(\dfrac d{dt}[f\mathbf u]=f'\mathbf u+f\mathbf u'\)
- \(\dfrac d{dt}[\mathbf u\cdot\mathbf v]=\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'\)
- \(\dfrac d{dt}[\mathbf u\times\mathbf v]=\mathbf u'\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf v'\) (urutan pada hasil kali silang harus dijaga)
- \(\dfrac d{dt}[\mathbf u(f(t))]=f'(t)\,\mathbf u'(f(t))\) (aturan rantai)
Bukti aturan 4. Dengan \(\mathbf u=\langle u_1,u_2,u_3\rangle\), \(\mathbf v=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\): \(\frac d{dt}\sum u_iv_i=\sum(u_i'v_i+u_iv_i')=\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'\). Aturan 5 dibuktikan serupa dengan menjabarkan komponen hasil kali silang. \(\blacksquare\)
\(\mathbf u=\langle t,t^2,1\rangle\), \(\mathbf v=\langle1,t,t^3\rangle\). Maka \(\mathbf u\cdot\mathbf v=t+t^3+t^3=t+2t^3\) dengan turunan \(1+6t^2\). Dengan aturan 4: \(\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'=\langle1,2t,0\rangle\cdot\langle1,t,t^3\rangle+\langle t,t^2,1\rangle\cdot\langle0,1,3t^2\rangle=(1+2t^2)+(t^2+3t^2)=1+6t^2\). Cocok.
Jika \(|\mathbf r(t)|=c\) konstan, maka \(\mathbf r\cdot\mathbf r=c^2\). Turunkan: \(2\,\mathbf r\cdot\mathbf r'=0\), jadi \(\mathbf r'(t)\perp\mathbf r(t)\). Geometrisnya: kurva pada bola berpusat di asal mempunyai singgung yang tegak lurus jari-jari. Hal yang sama berlaku untuk \(\mathbf T\): karena \(|\mathbf T|=1\), maka \(\mathbf T'\perp\mathbf T\) (dipakai di 13.3 untuk vektor normal).
\(\mathbf u(t)=\langle t^2,\,e^t,\,\sin t\rangle\) dan \(f(t)=\ln t\): \(\frac d{dt}\mathbf u(\ln t)=\frac1t\langle2\ln t,\ e^{\ln t},\ \cos(\ln t)\rangle=\bigl\langle\frac{2\ln t}t,\ 1,\ \frac{\cos\ln t}t\bigr\rangle\).
Turunan orde tinggi
\(\mathbf r''(t)=\langle f'',g'',h''\rangle\) adalah turunan dari \(\mathbf r'\). Untuk kubik terpilin \(\mathbf r''=\langle0,2,6t\rangle\). Vektor \(\mathbf r''\) akan menjadi percepatan.
Kurva disebut mulus bila \(\mathbf r'\) kontinu dan \(\mathbf r'(t)\ne\mathbf0\) (kecuali mungkin di ujung). Kurva mulus tidak punya sudut tajam atau titik balik tiba-tiba; \(\mathbf T\) berubah kontinu.
3. Integral
\[ \int_a^b\mathbf r(t)\,dt=\Bigl\langle\int_a^bf\,dt,\ \int_a^bg\,dt,\ \int_a^bh\,dt\Bigr\rangle. \] Teorema Dasar Kalkulus berlaku: bila \(\mathbf R'=\mathbf r\), maka \(\int_a^b\mathbf r\,dt=\mathbf R(b)-\mathbf R(a)\). Integral tak tentu menghasilkan \(\mathbf R(t)+\mathbf C\), dengan \(\mathbf C\) vektor konstanta.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\langle\cos t,\ \sin t,\ t\rangle\,dt=\bigl\langle1,\ 1,\ \tfrac{\pi^2}8\bigr\rangle\). Sedangkan \(\displaystyle\int_0^1\langle2t,\ 3t^2,\ e^t\rangle\,dt=\langle1,\ 1,\ e-1\rangle\).
Cari \(\mathbf r(t)\) bila \(\mathbf r'(t)=\langle2t,\ e^t,\ 1\rangle\) dan \(\mathbf r(0)=\langle1,0,2\rangle\). Integrasi: \(\mathbf r(t)=\langle t^2,\ e^t,\ t\rangle+\mathbf C\). Di \(t=0\): \(\langle0,1,0\rangle+\mathbf C=\langle1,0,2\rangle\Rightarrow\mathbf C=\langle1,-1,2\rangle\). Jadi \(\mathbf r(t)=\langle t^2+1,\ e^t-1,\ t+2\rangle\).
Percepatan \(\mathbf r''(t)=\langle0,2,6t\rangle\), kecepatan awal \(\mathbf r'(0)=\langle1,0,0\rangle\), posisi awal \(\mathbf r(0)=\langle0,1,2\rangle\). Integrasi pertama: \(\mathbf r'=\langle0,2t,3t^2\rangle+\langle1,0,0\rangle=\langle1,2t,3t^2\rangle\). Integrasi kedua: \(\mathbf r=\langle t,t^2,t^3\rangle+\langle0,1,2\rangle=\langle t,\ t^2+1,\ t^3+2\rangle\).
Jika \(\mathbf r'(t)=\langle-\sin t,\cos t\rangle\cdot3\) (gerak melingkar jari-jari 3), maka \(\mathbf r\cdot\mathbf r'=0\) untuk semua \(t\), konsisten dengan Contoh 5. Integrasi \(\mathbf r'\) dari \(0\) ke \(2\pi\) memberi \(\langle0,0\rangle\): perpindahan total nol karena kembali ke titik awal, tetapi jarak tempuh \(\int|\mathbf r'|=6\pi\) (13.3).
4. Kesalahan umum
- Memakai aturan hasil kali silang dengan urutan terbalik: \(\mathbf u\times\mathbf v'\) bukan \(\mathbf v'\times\mathbf u\).
- Menulis \(|\mathbf r|'=|\mathbf r'|\): umumnya tidak benar. Panjang vektor posisi tidak sama dengan laju.
- Lupa konstanta vektor \(\mathbf C\) pada integral tak tentu, atau memperlakukannya sebagai skalar.
- Menyatakan \(\mathbf r'(t)\) singgung padahal \(\mathbf r'(t)=\mathbf0\) (kurva tidak mulus di titik itu).
5. Ringkasan
- \(\mathbf r'=\langle f',g',h'\rangle\) adalah vektor singgung; \(\mathbf T=\mathbf r'/|\mathbf r'|\).
- Aturan: jumlah, hasil kali dengan skalar, titik, silang, rantai.
- \(|\mathbf r|\) konstan \(\Rightarrow\mathbf r\perp\mathbf r'\).
- Integral per komponen; masalah nilai awal memakai konstanta vektor.
Berikutnya 13.3 Panjang Busur dan Kelengkungan.