Dua turunan menjelaskan bagaimana sebuah medan vektor berperilaku secara lokal: curl mengukur kecenderungan berputar, dan divergensi mengukur kecenderungan memancar atau terserap. Keduanya adalah kunci untuk memperluas teorema Green ke ruang (16.8, 16.9).
1. Operator del
Definisikan operator vektor \(\nabla=\Bigl\langle\dfrac\partial{\partial x},\dfrac\partial{\partial y},\dfrac\partial{\partial z}\Bigr\rangle\). Ia bekerja pada fungsi skalar (gradien \(\nabla f\)), dan melalui "hasil kali" titik dan silang pada medan vektor.
2. Curl
Untuk \(\mathbf F=\langle P,Q,R\rangle\) dengan turunan parsial ada, \[ \operatorname{curl}\mathbf F=\nabla\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}=\Bigl\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\Bigr\rangle. \]
Untuk medan bidang \(\langle P,Q,0\rangle\), curl \(=\langle0,0,Q_x-P_y\rangle\): komponen \(\mathbf k\) adalah integran teorema Green.
Tafsir. Letakkan roda dayung kecil di aliran fluida \(\mathbf F\), dengan sumbu searah \(\mathbf n\). Roda berputar paling cepat bila \(\mathbf n\) searah \(\operatorname{curl}\mathbf F\), dengan kecepatan sudut \(\frac12|\operatorname{curl}\mathbf F|\). Bila \(\operatorname{curl}\mathbf F=\mathbf0\), aliran disebut tak berputar (irrotasional).
\(\mathbf F=\langle xz,\ xyz,\ -y^2\rangle\). \(R_y-Q_z=-2y-xy\); \(P_z-R_x=x-0=x\); \(Q_x-P_y=yz-0=yz\). \(\operatorname{curl}\mathbf F=\langle-2y-xy,\ x,\ yz\rangle\). Di \((1,1,2)\): \(\langle-3,1,2\rangle\).
Benda berputar dengan kecepatan sudut \(\boldsymbol\omega=\langle0,0,3\rangle\): kecepatan titik \(\mathbf r\) adalah \(\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r=\langle-3y,3x,0\rangle\). \(\operatorname{curl}\mathbf v=\langle0,0,3+3\rangle=\langle0,0,6\rangle=2\boldsymbol\omega\). Jadi curl kecepatan sama dengan dua kali kecepatan sudut. Medan geseran \(\langle y,0,0\rangle\): curl \(=\langle0,0,-1\rangle\), roda berputar searah jarum jam.
\(\mathbf F=\langle yz,xz,xy\rangle\): \(R_y-Q_z=x-x=0\), \(P_z-R_x=y-y=0\), \(Q_x-P_y=z-z=0\); curl \(=\mathbf0\). Memang \(\mathbf F=\nabla(xyz)\). Sebaliknya \(\mathbf F=\langle xy,yz,zx\rangle\): curl \(=\langle-y,-z,-x\rangle\ne\mathbf0\), tidak konservatif.
Jika \(f\) mempunyai turunan parsial kedua kontinu, maka \[ \operatorname{curl}(\nabla f)=\mathbf0. \] Sebaliknya, jika \(\mathbf F\) terdefinisi pada seluruh \(\mathbb R^3\) (atau daerah sederhana terhubung) dengan komponen berturunan parsial kontinu dan \(\operatorname{curl}\mathbf F=\mathbf0\), maka \(\mathbf F\) konservatif.
Bukti bagian pertama: komponen pertama \(\partial_y(f_z)-\partial_z(f_y)=0\) oleh Clairaut; komponen lain serupa. Ini kelanjutan dari syarat \(P_y=Q_x\) di 16.3.
3. Divergensi
\[ \operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}. \] (Di bidang: \(P_x+Q_y\).) Ini fungsi skalar.
Tafsir. Bila \(\mathbf F\) kecepatan fluida, \(\operatorname{div}\mathbf F\) di sebuah titik adalah laju fluks keluar per satuan volume: positif bila titik itu sumber (fluida memancar), negatif bila penyerap (sink), dan nol bila aliran tak mampat (volume fluida tidak berubah).
- \(\mathbf F=\langle xz,xyz,-y^2\rangle\): \(\operatorname{div}=z+xz+0=z(1+x)\).
- \(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\): \(\operatorname{div}=3\) (memancar seragam).
- \(\mathbf F=\langle x,-y\rangle\): \(\operatorname{div}=1-1=0\): aliran sudut tak mampat (di sekitar titik pelana, mengalir masuk sepanjang sumbu \(y\) dan keluar sepanjang sumbu \(x\)).
- \(\mathbf F=\langle-y,x\rangle\): \(\operatorname{div}=0\): berputar tanpa memampat.
\(\mathbf F=\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}=\dfrac{\langle x,y,z\rangle}{\rho^3}\), \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). \(\dfrac\partial{\partial x}\dfrac x{\rho^3}=\dfrac1{\rho^3}-\dfrac{3x^2}{\rho^5}\). Jumlahkan untuk tiga komponen: \(\dfrac3{\rho^3}-\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{\rho^5}=0\). Jadi \(\operatorname{div}\mathbf F=0\) di mana pun kecuali di titik asal (sumber titik). Karena inilah fluks medan listrik dan gravitasi muatan titik tidak bergantung pada bentuk permukaan pengurung (16.9).
Jika \(\mathbf F=\langle P,Q,R\rangle\) mempunyai turunan parsial kedua kontinu, maka \[ \operatorname{div}(\operatorname{curl}\mathbf F)=0. \]
Bukti: \(\operatorname{div}\langle R_y-Q_z,\,P_z-R_x,\,Q_x-P_y\rangle=R_{yx}-Q_{zx}+P_{zy}-R_{xy}+Q_{xz}-P_{yz}=0\) oleh Clairaut. Akibatnya, medan yang merupakan curl dari medan lain pasti tak mampat (mis. medan magnet).
4. Laplacian dan identitas
Laplacian fungsi skalar: \(\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\). Fungsi dengan \(\nabla^2f=0\) disebut harmonik (persamaan Laplace, 14.3).
- \(f=x^2+y^2+z^2\): \(\nabla^2f=2+2+2=6\).
- \(f=\dfrac1{\rho}\): \(\nabla f=-\dfrac{\mathbf r}{\rho^3}\), \(\nabla^2f=-\operatorname{div}\dfrac{\mathbf r}{\rho^3}=0\) (Contoh 5): harmonik di mana pun kecuali asal; ini potensial listrik dan gravitasi.
- \(f=x^2-y^2\): \(\nabla^2f=2-2=0\): harmonik.
| Identitas | Keterangan |
|---|---|
| \(\nabla\times\nabla f=\mathbf0\) | gradien tak berputar |
| \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0\) | curl tak mampat |
| \(\nabla\cdot(f\mathbf F)=f\,\nabla\cdot\mathbf F+\mathbf F\cdot\nabla f\) | aturan hasil kali |
| \(\nabla\times(f\mathbf F)=f\,\nabla\times\mathbf F+\nabla f\times\mathbf F\) | aturan hasil kali |
| \(\nabla\cdot(\mathbf F+\mathbf G)=\nabla\cdot\mathbf F+\nabla\cdot\mathbf G\) | linear |
\(\nabla\cdot(\rho^2\,\mathbf r)\) dengan \(\mathbf r=\langle x,y,z\rangle\): \(f=\rho^2=x^2+y^2+z^2\), \(\nabla f=2\mathbf r\), \(\nabla\cdot\mathbf r=3\): \(f\,\nabla\cdot\mathbf r+\mathbf r\cdot\nabla f=3\rho^2+2\rho^2=5\rho^2\).
5. Bentuk vektor teorema Green
Dengan notasi baru, teorema Green (16.4) berbunyi \[ \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_D(\operatorname{curl}\mathbf F)\cdot\mathbf k\,dA,\qquad\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_D\operatorname{div}\mathbf F\,dA. \] Bentuk pertama (sirkulasi \(\leftrightarrow\) curl) memperluas diri menjadi Teorema Stokes (16.8); bentuk kedua (fluks \(\leftrightarrow\) divergensi) menjadi Teorema Divergensi (16.9).
6. Kesalahan umum
- Menyamakan curl dan divergensi: curl menghasilkan vektor, divergensi menghasilkan skalar.
- Salah tanda pada determinan curl (komponen \(\mathbf j\) adalah \(P_z-R_x\), bukan \(R_x-P_z\)).
- Menghitung curl atau divergensi dari fungsi skalar, atau gradien dari medan vektor: tipe tidak cocok.
- Menyimpulkan konservatif dari curl nol pada daerah yang tidak sederhana terhubung.
7. Ringkasan
- \(\operatorname{curl}\mathbf F=\nabla\times\mathbf F\): kecenderungan berputar; \(\operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F\): kecenderungan memancar.
- \(\operatorname{curl}\nabla f=\mathbf0\); \(\operatorname{div}\operatorname{curl}\mathbf F=0\).
- Laplacian \(\nabla^2f=\operatorname{div}\nabla f\); fungsi harmonik: \(\nabla^2f=0\).
Berikutnya 16.6 Permukaan Parametrik dan Luasnya.