Pada subbab sebelumnya kita mempelajari barisan: daftar bilangan yang tak berujung. Sekarang kita bertanya sesuatu yang lebih berani: apa artinya menjumlahkan semua anggota daftar itu? Menjumlahkan tak hingga banyak bilangan terdengar mustahil, tetapi justru dari pertanyaan inilah lahir deret pangkat, deret Taylor, dan banyak sekali metode hampiran dalam sains. Kuncinya sederhana: kita tidak pernah benar-benar menjumlahkan tak hingga suku; kita menjumlahkan sebanyak-banyaknya suku pertama, lalu melihat ke mana jumlah itu menuju.
1. Deret dan jumlah parsial
Diberikan barisan \(\{a_n\}\). Ekspresi formal \[ a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}a_n \] disebut deret tak hingga (singkatnya deret). Bilangan \(a_n\) disebut suku ke-\(n\). Karena tak mungkin menjumlahkan semuanya sekaligus, kita membentuk barisan baru dari jumlah suku-suku awal: \[ s_1=a_1,\quad s_2=a_1+a_2,\quad s_3=a_1+a_2+a_3,\ \ \ldots,\quad s_n=\sum_{i=1}^{n}a_i. \] Bilangan \(s_n\) disebut jumlah parsial ke-\(n\).
Deret \(\sum a_n\) disebut konvergen bila barisan jumlah parsial \(\{s_n\}\) konvergen, yaitu \(\lim_{n\to\infty}s_n=s\) ada sebagai bilangan real. Bilangan \(s\) disebut jumlah deret dan kita tulis \(\sum_{n=1}^\infty a_n=s\). Bila \(\{s_n\}\) divergen, deretnya divergen dan tidak punya jumlah.
Jadi "jumlah tak hingga" adalah limit dari jumlah hingga. Seluruh teori deret pada dasarnya adalah teori barisan \(\{s_n\}\). Perhatikan perbedaan peran: \(\{a_n\}\) adalah barisan suku, \(\{s_n\}\) adalah barisan jumlah parsial; keduanya sering dikacaukan.
Indeks awal tidak harus 1. Deret \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) atau \(\sum_{n=3}^\infty a_n\) diperlakukan sama. Mengubah (atau membuang) sejumlah berhingga suku di awal tidak mengubah apakah deret konvergen atau tidak (hanya mengubah nilai jumlahnya); ini sangat berguna pada uji-uji di subbab berikutnya.
2. Deret geometri
Deret yang setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan konstanta \(r\) (rasio) disebut deret geometri: \[ a+ar+ar^2+\cdots=\sum_{n=1}^\infty ar^{\,n-1}\qquad(a\ne0). \] Penurunan jumlah. Untuk \(r\ne1\), kalikan \(s_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}\) dengan \(r\): \[ rs_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n}. \] Kurangkan kedua persamaan: semua suku tengah saling meniadakan, tersisa \(s_n-rs_n=a-ar^{n}\), sehingga \[ s_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}. \] Bila \(|r|\lt1\), maka \(r^n\to0\) dan \(s_n\to \dfrac{a}{1-r}\). Bila \(|r|\gt1\), \(r^n\) tak terbatas sehingga \(s_n\) divergen. Bila \(r=1\), \(s_n=na\to\pm\infty\); bila \(r=-1\), \(s_n\) berayun antara \(a\) dan \(0\): divergen.
Deret geometri \(\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\) konvergen jika \(|r|\lt1\) dengan jumlah \[ \sum_{n=1}^\infty ar^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}=\frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}, \] dan divergen jika \(|r|\ge1\).
Rumus "suku pertama dibagi satu kurang rasio" adalah salah satu rumus yang paling sering dipakai dalam seluruh bab ini. Perhatikan bahwa "suku pertama" harus benar-benar suku yang pertama kali muncul pada indeks awal yang digunakan.
Hitung \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 3\left(-\tfrac25\right)^{n-1}\).
Suku pertama \(a=3\), rasio \(r=-\tfrac25\) dengan \(|r|=\tfrac25\lt1\), jadi konvergen: \[ \sum=\frac{3}{1-(-2/5)}=\frac{3}{7/5}=\frac{15}{7}\approx2{,}1429. \] Jumlah parsial berayun di sekitar \(15/7\): \(s_1=3,\ s_2=1{,}8,\ s_3=2{,}28,\ s_4=2{,}088,\dots\)
Nyatakan \(0{,}4272727\ldots=0{,}4\overline{27}\) sebagai pecahan.
Pisahkan bagian yang tidak berulang: \(0{,}4+0{,}027+0{,}00027+0{,}0000027+\cdots\). Mulai dari suku kedua, ini deret geometri dengan \(a=0{,}027\) dan \(r=0{,}01\): \[ 0{,}027+0{,}00027+\cdots=\frac{0{,}027}{1-0{,}01}=\frac{0{,}027}{0{,}99}=\frac{27}{990}=\frac{3}{110}. \] Maka \(0{,}4\overline{27}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{110}=\dfrac{44+3}{110}=\dfrac{47}{110}\). Cek: \(47/110=0{,}427272\ldots\)
Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap kali menumbuk lantai, bola memantul setinggi \(\tfrac34\) dari ketinggian sebelumnya. Berapa total jarak yang ditempuh bola sampai berhenti (secara idealisasi)?
Jarak awal turun: 10 m. Setelah itu, setiap pantulan ke-\(k\) mencapai tinggi \(10(3/4)^k\) dan jarak naik-turunnya adalah dua kalinya. Jadi \[ D=10+2\sum_{k=1}^\infty10\left(\tfrac34\right)^k=10+2\cdot\frac{10\cdot\frac34}{1-\frac34}=10+2\cdot30=70\text{ m}. \] Suku pertama deret di dalam adalah \(10\cdot\tfrac34=7{,}5\), bukan 10: itu sebabnya kita harus teliti menetapkan "suku pertama".
Untuk \(x\) apa saja deret \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-2)^n}{3^n}\) konvergen, dan berapa jumlahnya?
Deretnya \(\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{x-2}{3}\right)^n\): geometri dengan \(a=1\), \(r=\dfrac{x-2}{3}\). Konvergen bila \(\left|\dfrac{x-2}{3}\right|\lt1\), yaitu \(|x-2|\lt3\) atau \(-1\lt x\lt5\), dengan jumlah \[ \frac{1}{1-\frac{x-2}{3}}=\frac{3}{5-x}. \] Untuk \(x\) di luar selang itu (termasuk ujung \(x=-1\) dan \(x=5\) karena \(|r|=1\)), deret divergen. Ini cuplikan pertama dari deret pangkat yang kita pelajari di subbab 11.8.
3. Deret teleskop
Tidak semua deret konvergen bersifat geometri. Kadang suku-suku jumlah parsial saling menghapus secara beruntun ("melipat" seperti teleskop). Triknya biasanya pecahan parsial.
Tentukan \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}\).
Uraikan \(\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\). Maka \[ s_n=\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)+\Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr)+\cdots+\Bigl(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}\Bigr)=1-\frac1{n+1}. \] Karena \(s_n\to1\), deretnya konvergen dengan jumlah \(1\).
Hitung \(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^2-1}\).
Faktorkan \(n^2-1=(n-1)(n+1)\) dan uraikan \(\dfrac1{n^2-1}=\dfrac12\Bigl(\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n+1}\Bigr)\). Sekarang suku yang saling hapus berjarak dua langkah: \[ s_N=\frac12\Bigl[\bigl(1-\tfrac13\bigr)+\bigl(\tfrac12-\tfrac14\bigr)+\bigl(\tfrac13-\tfrac15\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac1{N-1}-\tfrac1{N+1}\bigr)\Bigr]. \] Yang bertahan hanyalah \(1\) dan \(\tfrac12\) di depan, serta \(-\tfrac1N\) dan \(-\tfrac1{N+1}\) di belakang: \[ s_N=\frac12\Bigl(1+\frac12-\frac1N-\frac1{N+1}\Bigr)\ \longrightarrow\ \frac12\cdot\frac32=\frac34. \]
Selidiki \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\Bigl(1+\frac1n\Bigr)\).
Tulis \(\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr)=\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n\). Maka \(s_n=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1)\to\infty\). Deretnya divergen, meskipun sukunya \(\ln(1+1/n)\to0\). Contoh ini akan kita pakai untuk menunjukkan bahwa suku menuju nol tidak cukup untuk kekonvergenan.
4. Deret harmonik: suku menuju nol, tetapi deret divergen
Deret harmonik \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n=1+\frac12+\frac13+\cdots\) adalah contoh paling terkenal. Sukunya mengecil menuju nol, tetapi jumlahnya tidak terbatas.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n\) divergen.
Bukti (pengelompokan ala Oresme). Perhatikan jumlah parsial dengan banyak suku pangkat dua: \[ s_{2}=1+\tfrac12,\qquad s_4=1+\tfrac12+\bigl(\tfrac13+\tfrac14\bigr)\gt1+\tfrac12+\bigl(\tfrac14+\tfrac14\bigr)=1+\tfrac22,\] \[ s_8=s_4+\bigl(\tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18\bigr)\gt s_4+4\cdot\tfrac18\gt1+\tfrac32. \] Secara umum, kelompok \(\tfrac1{2^{k-1}+1}+\cdots+\tfrac1{2^k}\) memiliki \(2^{k-1}\) suku, masing-masing paling sedikit \(\tfrac1{2^k}\), sehingga jumlah kelompok itu \(\ge\tfrac12\). Dengan induksi, \(s_{2^k}\ge1+\dfrac k2\). Barisan \(\{s_{2^k}\}\) tak terbatas, maka \(\{s_n\}\) (yang naik) tak terbatas dan divergen. \(\blacksquare\)
Divergensinya sangat lambat: untuk melampaui 100 dibutuhkan lebih dari \(e^{100}\approx2{,}7\times10^{43}\) suku. Inilah alasan mengapa pengamatan numerik saja tidak boleh dipercaya untuk memutuskan kekonvergenan.
5. Uji divergensi (uji suku ke-\(n\))
Bila deret \(\sum a_n\) konvergen, jumlah parsialnya mendekati \(s\), sehingga \(s_n\) dan \(s_{n-1}\) keduanya mendekati \(s\). Suku \(a_n=s_n-s_{n-1}\) pun harus mendekati \(s-s=0\).
Jika \(\sum a_n\) konvergen, maka \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
Kontraposisinya adalah alat praktis:
Jika \(\lim_{n\to\infty}a_n\) tidak ada atau tidak sama dengan 0, maka \(\sum a_n\) divergen.
Kebalikannya salah: \(a_n\to0\) tidak menjamin \(\sum a_n\) konvergen. Deret harmonik \(\sum1/n\) dan deret \(\sum\ln(1+1/n)\) pada Contoh 7 adalah dua contoh tandingnya. Uji divergensi hanya bisa membuktikan divergen; bila \(a_n\to0\), ia tidak berkata apa-apa dan kita harus memakai uji lain.
(a) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2n+1}\): \(a_n\to\tfrac12\ne0\), divergen.
(b) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n\): \(a_n\to e\ne0\), divergen.
(c) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\): \(a_n\) berayun antara \(-1\) dan \(1\), limitnya tidak ada, divergen.
(d) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{n^2-3n+7}\): \(a_n\to1\ne0\), divergen.
6. Sifat aljabar deret
Bila \(\sum a_n=A\) dan \(\sum b_n=B\) konvergen dan \(c\) konstanta, maka \(\sum ca_n=cA\), \(\sum(a_n\pm b_n)=A\pm B\).
Buktinya langsung: jumlah parsial deret gabungan adalah gabungan jumlah parsial, lalu gunakan sifat limit barisan. Dua konsekuensi yang perlu diingat: (i) konvergen \(\pm\) konvergen adalah konvergen; (ii) konvergen \(\pm\) divergen adalah divergen (bila tidak, selisihnya akan konvergen, kontradiksi). Namun divergen \(\pm\) divergen tidak dapat ditebak: \(\sum\tfrac1n-\sum\tfrac1n=\sum0\) konvergen.
Hitung \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n+3^n}{6^n}\).
Pisahkan menjadi \(\sum\bigl(\tfrac13\bigr)^n+\sum\bigl(\tfrac12\bigr)^n\). Mulai dari \(n=1\): \[ \frac{1/3}{1-1/3}+\frac{1/2}{1-1/2}=\frac12+1=\frac32. \]
Apakah \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac1{2^n}+\frac1n\Bigr)\) konvergen?
Bagian pertama konvergen (geometri, jumlah 1), bagian kedua divergen (harmonik). Jumlah konvergen dan divergen adalah divergen, jadi deret itu divergen.
7. Ringkasan
- \(\sum a_n\) konvergen \(\iff\) barisan jumlah parsial \(s_n\) konvergen; jumlah deret adalah \(\lim s_n\).
- Geometri \(\sum ar^{n-1}\): konvergen untuk \(|r|\lt1\) dengan jumlah \(\dfrac{a}{1-r}\); divergen untuk \(|r|\ge1\).
- Teleskop: uraikan suku menjadi selisih, tuliskan \(s_n\), lihat apa yang bertahan.
- Harmonik \(\sum1/n\) divergen walaupun \(a_n\to0\).
- Uji divergensi: \(a_n\not\to0\Rightarrow\) divergen. Tidak dapat dipakai untuk membuktikan kekonvergenan.
- Kelinearan hanya berlaku bila kedua deret konvergen.
Pada subbab berikutnya kita mulai memutuskan kekonvergenan deret yang jumlah parsialnya tidak punya rumus tertutup, dimulai dengan Uji Integral.