Teorema Dasar Kalkulus: integral turunan pada selang \(=\) nilai pada batas. Teorema Green dan Stokes: integral "turunan" (curl) pada permukaan \(=\) integral garis pada batas. Teorema Divergensi adalah versi tiga dimensi bentuk fluks teorema Green: integral divergensi pada padatan \(=\) fluks melalui permukaan pembatasnya.
1. Pernyataan
Misalkan \(E\) padatan sederhana (daerah tertutup terbatas) yang dibatasi permukaan tertutup \(S\) dengan orientasi positif (normal keluar). Jika \(\mathbf F\) mempunyai turunan parsial pertama kontinu pada daerah terbuka yang memuat \(E\), maka \[ \iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_E\operatorname{div}\mathbf F\,dV. \]
Gagasan bukti. Tulis \(\mathbf F=P\mathbf i+Q\mathbf j+R\mathbf k\); cukup membuktikan \(\iint_SR\mathbf k\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_E\frac{\partial R}{\partial z}dV\) (dua lainnya serupa). Bila \(E=\{(x,y)\in D,\ u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}\): \(\iiint_E\frac{\partial R}{\partial z}dV=\iint_D\bigl[R(x,y,u_2)-R(x,y,u_1)\bigr]dA\) (teorema dasar). Sisi vertikal \(S\) tidak menyumbang (\(\mathbf k\cdot\mathbf n=0\)). Permukaan atas \(z=u_2\) (normal ke atas) menyumbang \(\iint_DR(x,y,u_2)\,dA\), permukaan bawah (normal ke bawah) \(-\iint_DR(x,y,u_1)\,dA\). Jumlahnya sama. Padatan umum dipotong menjadi padatan sederhana; fluks pada permukaan pemisah saling menghapus. \(\blacksquare\)
2. Contoh
\(\mathbf F=\langle x^3,y^3,z^3\rangle\), \(S\) bola satuan. \(\operatorname{div}\mathbf F=3(x^2+y^2+z^2)=3\rho^2\). \(\iiint3\rho^2\,dV=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^13\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=3\cdot\tfrac15\cdot2\cdot2\pi=\tfrac{12\pi}5\approx7{,}540\). Menghitung fluks langsung pada bola akan jauh lebih rumit.
\(\mathbf F=\langle x,y,z^2\rangle\), \(E\): \(x^2+y^2\le1\), \(0\le z\le2\). \(\operatorname{div}=1+1+2z=2+2z\). \(\iiint=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^2(2+2z)\,r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac12\cdot(4+4)=8\pi\).
Langsung: tutup atas \(z=2\), \(\mathbf n=\mathbf k\): \(\mathbf F\cdot\mathbf n=z^2=4\), luas \(\pi\): \(4\pi\). Tutup bawah \(z=0\), \(\mathbf n=-\mathbf k\): \(-z^2=0\). Sisi \(\mathbf n=\langle x,y,0\rangle\): \(\mathbf F\cdot\mathbf n=x^2+y^2=1\), luas sisi \(2\pi\cdot2=4\pi\): \(4\pi\). Total \(8\pi\). Cocok.
\(\mathbf F=\langle xy,yz,zx\rangle\), \(E=[0,1]^3\). \(\operatorname{div}=y+z+x\). \(\iiint(x+y+z)\,dV=3\cdot\tfrac12=\tfrac32\). Fluks keluar dari kubus \(=\tfrac32\).
Fluks \(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\) melalui paraboloid \(S_1:\ z=1-x^2-y^2\), \(z\ge0\), ke atas (16.7 Contoh 6 memberi \(\frac{3\pi}2\) dengan hitung langsung). Tutup dengan cakram \(S_2\): \(z=0\), \(x^2+y^2\le1\), normal \(-\mathbf k\). \(\iint_{S_1}+\iint_{S_2}=\iiint_E3\,dV=3\cdot\tfrac\pi2\) (volume bawah paraboloid \(2\pi\int_0^1(1-r^2)r\,dr=\tfrac\pi2\)). Pada \(S_2\): \(\mathbf F\cdot(-\mathbf k)=-z=0\). Jadi \(\iint_{S_1}=\tfrac{3\pi}2\), sama dengan hasil langsung.
3. Menghitung volume dengan fluks
Pilih \(\mathbf F\) dengan \(\operatorname{div}\mathbf F=1\), mis. \(\mathbf F=\frac13\langle x,y,z\rangle\) atau \(\langle x,0,0\rangle\): \[ V(E)=\frac13\iint_S\mathbf r\cdot d\mathbf S=\iint_Sx\,dy\,dz. \]
Pada bola jari-jari \(a\): \(\mathbf r\cdot\mathbf n=a\). \(V=\frac13\cdot a\cdot4\pi a^2=\frac43\pi a^3\).
4. Hukum Gauss dan medan kuadrat terbalik
\(\mathbf F=\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\) mempunyai \(\operatorname{div}\mathbf F=0\) untuk \(\mathbf r\ne\mathbf0\) (16.5). Misalkan \(S\) permukaan tertutup apa pun yang mengurung titik asal. Ambil bola kecil \(S_a\) berjari-jari \(a\) di dalam \(S\); padatan \(E\) di antara \(S\) dan \(S_a\) tidak memuat asal. Teorema divergensi (normal keluar dari \(E\), yaitu ke dalam pada \(S_a\)): \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S-\iint_{S_a}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_E0\,dV=0\). Pada \(S_a\), \(\mathbf F\cdot\mathbf n=\frac1{a^2}\), fluks \(=\frac1{a^2}\cdot4\pi a^2=4\pi\). Jadi \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=4\pi\) untuk setiap permukaan yang mengurung asal.
Dari Contoh 6, medan muatan titik \(Q\), \(\mathbf E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\), memberi fluks \(\frac Q{\varepsilon_0}\) melalui permukaan tertutup apa pun yang mengurungnya. Untuk distribusi muatan dengan kerapatan \(\rho\): \(\iint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S=\frac1{\varepsilon_0}\iiint_E\rho\,dV\). Dengan teorema divergensi, \(\iiint_E\operatorname{div}\mathbf E\,dV=\frac1{\varepsilon_0}\iiint_E\rho\,dV\) untuk semua \(E\), jadi \(\operatorname{div}\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}\) (persamaan Maxwell).
5. Tafsir divergensi dan aliran fluida
Ambil bola kecil \(B_a\) berpusat di \(P\), dengan permukaan \(S_a\). Karena \(\operatorname{div}\mathbf F\) hampir konstan di dalamnya, \[ \iint_{S_a}\mathbf F\cdot d\mathbf S\approx\operatorname{div}\mathbf F(P)\cdot V(B_a)\ \Rightarrow\ \operatorname{div}\mathbf F(P)=\lim_{a\to0}\frac1{V(B_a)}\iint_{S_a}\mathbf F\cdot d\mathbf S. \] Jadi divergensi adalah fluks keluar per satuan volume: \(\operatorname{div}\mathbf F\gt0\) di sumber, \(\lt0\) di penyerap.
Fluida dengan kerapatan \(\rho(x,y,z,t)\) dan kecepatan \(\mathbf v\). Massa dalam \(E\): \(\iiint_E\rho\,dV\). Laju perubahannya sama dengan negatif fluks keluar: \(\frac d{dt}\iiint_E\rho\,dV=-\iint_S\rho\mathbf v\cdot d\mathbf S=-\iiint_E\operatorname{div}(\rho\mathbf v)\,dV\). Untuk semua \(E\): \(\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf v)=0\). Fluida tak mampat (\(\rho\) konstan) memberi \(\operatorname{div}\mathbf v=0\).
Aliran panas \(\mathbf F=-K\nabla u\). Laju panas keluar dari \(E\) adalah \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_E\operatorname{div}(-K\nabla u)\,dV=-K\iiint_E\nabla^2u\,dV\). Dengan kapasitas panas \(c\rho\): \(c\rho\,u_t=K\nabla^2u\) (persamaan panas, 14.3).
6. Hubungan keempat teorema
| Teorema | Ruas satu | Ruas lain |
|---|---|---|
| Dasar Kalkulus | \(\int_a^bF'(x)\,dx\) | \(F(b)-F(a)\) |
| Dasar integral garis | \(\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r\) | \(f(B)-f(A)\) |
| Green | \(\iint_D(Q_x-P_y)\,dA\) | \(\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy\) |
| Stokes | \(\iint_S\operatorname{curl}\mathbf F\cdot d\mathbf S\) | \(\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r\) |
| Divergensi | \(\iiint_E\operatorname{div}\mathbf F\,dV\) | \(\iint_{\partial E}\mathbf F\cdot d\mathbf S\) |
Pola yang sama: integral "turunan" atas suatu daerah sama dengan integral fungsi aslinya pada batas daerah itu.
7. Kesalahan umum
- Memakai teorema pada permukaan yang tidak tertutup tanpa menambah tutupnya.
- Normal ke dalam alih-alih ke luar sehingga tanda terbalik.
- Menerapkan teorema bila \(\mathbf F\) punya singularitas di dalam \(E\) (seperti medan kuadrat terbalik pada permukaan yang mengurung asal): perlu langkah seperti Contoh 6.
- Lupa menjumlahkan fluks semua bagian permukaan saat menghitung langsung.
8. Ringkasan
- \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_E\operatorname{div}\mathbf F\,dV\), \(S\) tertutup, normal keluar.
- Divergensi \(=\) fluks keluar per satuan volume; \(\operatorname{div}\mathbf F=0\) berarti tak mampat.
- Hukum Gauss: fluks medan kuadrat terbalik melalui permukaan pengurung \(=4\pi\) (atau \(Q/\varepsilon_0\)).
Bab 16 berakhir di sini, dan dengan itu semua bab buku ini tersedia.