Integral tentu \(\int_a^bf(x)\,dx\) menjumlahkan nilai \(f\) di sepanjang selang, dan mengukur luas di bawah kurva. Integral ganda dua menjumlahkan nilai \(f(x,y)\) di atas sebuah daerah di bidang dan mengukur volume di bawah permukaan.
1. Volume dan jumlah Riemann
Misalkan \(f(x,y)\ge0\) pada persegi panjang tertutup \(R=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y):a\le x\le b,\ c\le y\le d\}\). Padatan \(S\) yang terletak di atas \(R\) dan di bawah grafik \(z=f(x,y)\) kita hampiri sebagai berikut:
- Bagi \([a,b]\) menjadi \(m\) selang lebar \(\Delta x=\frac{b-a}m\) dan \([c,d]\) menjadi \(n\) selang lebar \(\Delta y=\frac{d-c}n\). Ini membagi \(R\) menjadi \(mn\) persegi panjang kecil \(R_{ij}\) dengan luas \(\Delta A=\Delta x\Delta y\).
- Pilih titik contoh \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) di tiap \(R_{ij}\). Balok di atas \(R_{ij}\) berketinggian \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) mempunyai volume \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A\).
- Jumlahkan: \(V\approx\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A\) (jumlah Riemann ganda).
Integral ganda dua \(f\) atas persegi panjang \(R\): \[ \iint_Rf(x,y)\,dA=\lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta A, \] bila limit ada. Bila \(f\) kontinu (atau terbatas dan kontinu kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus), limit ada dan tidak bergantung pada pilihan titik contoh. Bila \(f\ge0\), \(\iint_Rf\,dA\) adalah volume padatan di bawah grafik \(f\) dan di atas \(R\).
\(f(x,y)=16-x^2-2y^2\) pada \(R=[0,2]\times[0,2]\), \(m=n=2\) (\(\Delta A=1\)).
Titik sudut kiri-bawah: \(f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(1,1)=16+14+15+13=58\).
Titik tengah \((0{,}5;0{,}5),(0{,}5;1{,}5),(1{,}5;0{,}5),(1{,}5;1{,}5)\): \(15{,}25+11{,}25+13{,}25+9{,}25=49\).
Nilai sebenarnya \(\iint_Rf\,dA=48\) (dihitung di 15.2). Aturan titik tengah \((49)\) jauh lebih dekat dari sudut kiri-bawah \((58)\), karena \(f\) turun ke arah kanan dan atas sehingga sudut kiri-bawah selalu melebih-lebihkan.
Curah hujan (cm) di empat titik tengah sebuah daerah \(4\times4\) km dibagi \(2\times2\): \(1{,}2;\ 0{,}8;\ 1{,}5;\ 1{,}1\). Tiap persegi \(2\times2\) km luasnya \(4\) km². Total volume air \(\approx4(1{,}2+0{,}8+1{,}5+1{,}1)=4(4{,}6)=18{,}4\) km²·cm. Rata-rata curah hujan \(=18{,}4/16=1{,}15\) cm.
2. Nilai rata-rata
\[ f_{\text{rata}}=\frac1{A(R)}\iint_Rf(x,y)\,dA. \] Untuk contoh di atas: \(\frac1{4}\cdot48=12\).
3. Sifat-sifat
- \(\iint_R[f+g]\,dA=\iint_Rf\,dA+\iint_Rg\,dA\).
- \(\iint_Rcf\,dA=c\iint_Rf\,dA\).
- Bila \(f\ge g\) pada \(R\), maka \(\iint_Rf\,dA\ge\iint_Rg\,dA\).
- Bila \(R=R_1\cup R_2\) tidak tumpang tindih (kecuali di batas), \(\iint_R=\iint_{R_1}+\iint_{R_2}\).
- \(m\,A(R)\le\iint_Rf\,dA\le M\,A(R)\) bila \(m\le f\le M\) pada \(R\).
- \(\iint_R1\,dA=A(R)\).
\(\iint_R\dfrac{\sin x}{1+y^2}\,dA\) dengan \(R=[-\pi,\pi]\times[0,1]\). Karena \(\sin x\) fungsi ganjil terhadap \(x\) dan \(R\) simetris terhadap \(x=0\), integralnya \(=0\) tanpa perhitungan panjang.
Pada \(R=[0,1]\times[0,2]\), \(1\le x^2+y^2+1\le6\). Maka \(2\le\iint_R(x^2+y^2+1)\,dA\le12\) (luas \(R=2\)).
\(\iint_R\sqrt{1-x^2}\,dA\) dengan \(R=[-1,1]\times[-2,2]\): grafik \(z=\sqrt{1-x^2}\) adalah setengah silinder lingkaran jari-jari 1 sepanjang sumbu \(y\) (panjang 4). Volume \(=\frac12\pi(1)^2\cdot4=2\pi\).
4. Kesalahan umum
- Mengartikan integral ganda sebagai luas. \(\iint_Rf\,dA\) adalah volume (bila \(f\ge0\)); luas \(R\) adalah \(\iint_R1\,dA\).
- Menghitung jumlah Riemann tanpa mengalikan dengan \(\Delta A\).
- Mengabaikan nilai negatif: bagian di bawah bidang \(xy\) menyumbang volume bertanda negatif.
5. Ringkasan
- \(\iint_Rf\,dA=\lim\sum f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A\); volume bila \(f\ge0\).
- Aturan titik tengah memberi hampiran yang baik.
- Sifat linear, aditif, monoton; nilai rata-rata \(=\frac1A\iint f\,dA\).
Berikutnya 15.2: cara menghitungnya dengan integral berulang.