1. Apa itu barisan?
Barisan adalah daftar bilangan yang ditulis dalam urutan tertentu: \[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ \dots,\ a_n,\ \dots \] \(a_1\) disebut suku pertama, \(a_2\) suku kedua, dan secara umum \(a_n\) adalah suku ke-\(n\). Kita hanya membahas barisan tak hingga: setiap suku \(a_n\) memiliki penerus \(a_{n+1}\).
Karena untuk tiap bilangan bulat positif \(n\) ada tepat satu bilangan \(a_n\), barisan sama saja dengan fungsi dengan daerah asal bilangan bulat positif; kita menulis \(a_n\) sebagai pengganti \(f(n)\). Notasi barisan: \(\{a_n\}\) atau \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\). Indeks tidak harus mulai dari 1; misalnya \(\{\sqrt{n-3}\}_{n=3}^\infty\).
| Notasi | Rumus suku ke-\(n\) | Suku-suku |
|---|---|---|
| \(\left\{\dfrac n{n+1}\right\}\) | \(a_n=\dfrac n{n+1}\) | \(\tfrac12,\tfrac23,\tfrac34,\tfrac45,\dots\) |
| \(\left\{\dfrac{(-1)^n(n+1)}{3^n}\right\}\) | \(a_n=\dfrac{(-1)^n(n+1)}{3^n}\) | \(-\tfrac23,\tfrac39,-\tfrac4{27},\tfrac5{81},\dots\) |
| \(\{\sqrt{n-3}\}_{n=3}^\infty\) | \(a_n=\sqrt{n-3}\) | \(0,1,\sqrt2,\sqrt3,\dots\) |
| \(\{\cos\tfrac{n\pi}{6}\}_{n=0}^\infty\) | \(a_n=\cos\tfrac{n\pi}6\) | \(1,\tfrac{\sqrt3}2,\tfrac12,0,\dots\) |
Mencari rumus dari pola
Cari rumus suku ke-\(n\) dari \(\dfrac35,\ -\dfrac4{25},\ \dfrac5{125},\ -\dfrac6{625},\ \dfrac7{3125},\dots\)
- Pembilang: 3, 4, 5, 6, 7, … naik 1 mulai dari 3, jadi \(n+2\).
- Penyebut: pangkat 5, yaitu \(5^n\).
- Tanda: positif untuk \(n=1\), lalu bergantian, sehingga faktor \((-1)^{n-1}\) (atau \(-(-1)^n\)).
Jawab: \(a_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n+2}{5^n}\).
Barisan yang tidak punya rumus sederhana
- \(p_n\) = populasi dunia pada 1 Januari tahun ke-\(n\).
- \(a_n\) = angka desimal ke-\(n\) dari bilangan \(e=2.7182818\ldots\); barisannya terdefinisi dengan baik: \(7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5,\dots\)
- Barisan Fibonacci, didefinisikan rekursif: \(f_1=1,\ f_2=1,\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\ (n\ge3)\), menghasilkan \(1,1,2,3,5,8,13,21,\dots\). Muncul dari soal pembiakan kelinci oleh Fibonacci (abad ke-13).
2. Menggambar barisan
Barisan dapat digambar pada garis bilangan (titik-titik \(a_1,a_2,\dots\)) atau pada bidang (grafik berupa titik-titik terpisah \((n,a_n)\)). Pada gambar kanan di bawah, \(a_n=n/(n+1)\) tampak mendekati 1.
3. Limit barisan
Barisan \(\{a_n\}\) memiliki limit \(L\), ditulis \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\) atau \(a_n\to L\), bila suku \(a_n\) dapat dibuat sedekat yang kita mau ke \(L\) dengan mengambil \(n\) cukup besar. Bila limit ada, barisan konvergen; bila tidak, barisan divergen.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\) bila untuk setiap \(\varepsilon>0\) ada bilangan bulat \(N\) sehingga \[ n>N\ \Longrightarrow\ |a_n-L|\lt \varepsilon. \] Artinya: seberapa sempit pun interval \((L-\varepsilon,L+\varepsilon)\), semua suku mulai dari \(a_{N+1}\) berada di dalamnya. \(\varepsilon\) yang lebih kecil umumnya menuntut \(N\) yang lebih besar.
Definisi ini hampir identik dengan limit fungsi di tak hingga; satu-satunya beda adalah \(n\) bilangan bulat. Karena itu:
Teorema 3. Jika \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\) dan \(f(n)=a_n\) untuk bilangan bulat \(n\), maka \(\lim_{n\to\infty}a_n=L\).
Ini memungkinkan penggunaan aturan l'Hôpital untuk barisan: terapkan pada fungsi \(f(x)\) yang bersesuaian, lalu simpulkan untuk \(a_n\). (Kebalikannya tidak benar: \(\sin(n\pi)\to0\) tetapi \(\lim_{x\to\infty}\sin(\pi x)\) tidak ada.)
Hasil dasar: \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^r}=0\) untuk \(r>0\).
Limit tak hingga. \(\lim a_n=\infty\) berarti untuk setiap \(M\) ada \(N\) sehingga \(n>N\Rightarrow a_n>M\). Barisan itu divergen, tetapi dengan cara khusus ("divergen ke \(\infty\)").
4. Hukum limit untuk barisan
Bila \(\{a_n\},\{b_n\}\) konvergen dan \(c\) konstanta:
- \(\lim(a_n\pm b_n)=\lim a_n\pm\lim b_n\)
- \(\lim ca_n=c\lim a_n\), \(\lim c=c\)
- \(\lim a_nb_n=\lim a_n\cdot\lim b_n\)
- \(\lim\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{\lim a_n}{\lim b_n}\) bila \(\lim b_n\ne0\)
- \(\lim a_n^p=(\lim a_n)^p\) bila \(p>0\) dan \(a_n>0\)
Jika \(a_n\le b_n\le c_n\) untuk \(n\ge n_0\) dan \(\lim a_n=\lim c_n=L\), maka \(\lim b_n=L\).
Jika \(\lim|a_n|=0\) maka \(\lim a_n=0\). (Karena \(-|a_n|\le a_n\le|a_n|\), lalu apit.)
Jika \(\lim a_n=L\) dan \(f\) kontinu di \(L\), maka \(\lim f(a_n)=f(L)\).
5. Contoh-contoh perhitungan
\(\displaystyle\lim\frac{n}{n+1}=\lim\frac{1}{1+1/n}=\frac{1}{1+0}=1.\) Ini mengonfirmasi tebakan dari grafik.
\(\displaystyle\lim\frac{3n^2-n}{5n^2+4}=\lim\frac{3-1/n}{5+4/n^2}=\frac35.\)
\(a_n=\dfrac{n}{\sqrt{10+n}}\). Bagi dengan \(n\): \(\dfrac{1}{\sqrt{10/n^2+1/n}}\). Penyebut menuju 0 (positif), pembilang 1, jadi \(a_n\to\infty\). Barisan divergen.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}\). Pakai fungsi \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\): \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1}=0\). Maka \(\lim\dfrac{\ln n}{n}=0\).
\(a_n=(-1)^n\): \(-1,1,-1,1,\dots\) Suku bolak-balik antara \(-1\) dan 1 tak hingga kali, tidak mendekati satu bilangan; divergen.
\(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\). \(|a_n|=\dfrac1n\to0\). Dengan Teorema 6, \(a_n\to0\). Walaupun tanda berganti, magnitudonya mengecil.
\(\displaystyle\lim\sin\frac\pi n=\sin\Bigl(\lim\frac\pi n\Bigr)=\sin0=0\).
\(a_n=\dfrac{n!}{n^n}\), dengan \(n!=1\cdot2\cdots n\). Tulis \[ a_n=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac nn=\frac1n\Bigl(\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac nn\Bigr). \] Tanda kurung berisi faktor-faktor \(\le1\), jadi \(0\lt a_n\le\dfrac1n\). Dari Teorema Apit (\(\tfrac1n\to0\)): \(a_n\to0\).
Pada tingkat \(n\) besar, \(n^n\) tumbuh jauh lebih cepat dibanding \(n!\), dan \(n!\) lebih cepat dibanding \(a^n\) untuk semua \(a\), dan \(a^n\) lebih cepat dibanding pangkat \(n^p\), yang lebih cepat dibanding \(\ln n\). Hierarki: \(\ln n\ \ll\ n^p\ \ll\ a^n\ \ll\ n!\ \ll\ n^n\).
6. Barisan geometri \(r^n\)
- \(r>1\): \(r^n\to\infty\) (diverge).
- \(r=1\): \(1,1,1,\dots\to1\).
- \(0\lt r\lt 1\): \(r^n\to0\) (karena \(r^n=e^{n\ln r}\) dan \(\ln r\lt 0\)).
- \(r=0\): barisan nol, \(\to0\).
- \(-1\lt r\lt 0\): \(|r|^n\to0\), jadi \(r^n\to0\) (Teorema 6).
- \(r=-1\): \(-1,1,-1,\dots\) divergen.
- \(r\lt -1\): \(|r^n|\to\infty\) dengan tanda berganti; divergen.
Ringkasan: \(\lim_{n\to\infty}r^n=\begin{cases}0&-1\lt r\lt 1\\1&r=1\end{cases}\), dan divergen untuk semua \(r\) lain. Maka \(\{r^n\}\) konvergen jika dan hanya jika \(-1\lt r\le1\).
7. Barisan monoton dan terbatas
- \(\{a_n\}\) naik jika \(a_n\lt a_{n+1}\) untuk semua \(n\ge1\); turun jika \(a_n>a_{n+1}\) untuk semua \(n\ge1\). Naik atau turun disebut monoton.
- \(\{a_n\}\) terbatas di atas jika ada \(M\) dengan \(a_n\le M\) untuk semua \(n\); terbatas di bawah jika ada \(m\) dengan \(m\le a_n\); terbatas jika keduanya.
Contoh: \(\{n\}\) terbatas di bawah (oleh 1) tetapi tidak di atas. \(\{\tfrac n{n+1}\}\) terbatas karena \(0\lt a_n\lt 1\).
Membuktikan monoton
Dua cara: (i) bandingkan \(a_{n+1}\) dengan \(a_n\) lewat aljabar (selisih atau rasio); (ii) bentuk fungsi \(f(x)\) dengan \(f(n)=a_n\) lalu periksa \(f'\).
Penyebut \(n+6>n+5\), jadi \(\dfrac3{n+6}\lt \dfrac3{n+5}\): \(a_{n+1}\lt a_n\).
Cara 1. Perlu \(\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1}\lt \dfrac n{n^2+1}\). Kalikan silang (semua penyebut positif): \((n+1)(n^2+1)\lt n\bigl((n+1)^2+1\bigr)\Leftrightarrow n^3+n^2+n+1\lt n^3+2n^2+2n\Leftrightarrow0\lt n^2+n-1\), yang benar untuk \(n\ge1\).
Cara 2. \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\lt 0\) untuk \(x>1\); \(f\) turun pada \([1,\infty)\), jadi \(f(n+1)\lt f(n)\).
8. Teorema Barisan Monoton
Setiap barisan monoton dan terbatas adalah konvergen.
Bukti (untuk barisan naik)
Dasarnya adalah Aksioma Kelengkapan bilangan real: setiap himpunan tak kosong yang terbatas di atas punya batas atas terkecil (supremum). Aksioma ini menyatakan bahwa garis bilangan tidak berlubang.
Misalkan \(\{a_n\}\) naik dan terbatas di atas. Himpunan \(S=\{a_n:n\ge1\}\) tak kosong dan terbatas di atas, jadi punya batas atas terkecil \(L\). Untuk sembarang \(\varepsilon>0\), \(L-\varepsilon\) bukan batas atas \(S\) (karena \(L\) terkecil), sehingga ada \(N\) dengan \(a_N>L-\varepsilon\). Karena barisan naik, untuk semua \(n>N\) berlaku \(a_n\ge a_N>L-\varepsilon\). Di sisi lain \(a_n\le L\). Jadi \(|a_n-L|\lt \varepsilon\) untuk \(n>N\), artinya \(\lim a_n=L\). Untuk barisan turun terbatas di bawah, argumen serupa dengan batas bawah terbesar. \(\blacksquare\)
- Terbatas tidak cukup: \(\{(-1)^n\}\) terbatas tetapi divergen.
- Monoton tidak cukup: \(\{n\}\) monoton tetapi divergen.
- Teorema ini memberi keberadaan limit, bukan nilainya. Pada bab-bab berikut ia dipakai berulang kali untuk deret.
\(a_1=1,\ a_{n+1}=\tfrac12\bigl(a_n+\tfrac{2}{a_n}\bigr)\) (metode Newton untuk \(\sqrt2\)). Suku-sukunya: \(1,\ 1.5,\ 1.41\overline6,\ 1.414215\ldots\)
- Terbatas di bawah. Untuk \(a>0\), \(\tfrac12(a+\tfrac2a)\ge\sqrt{a\cdot\tfrac2a}=\sqrt2\) (AM–GM). Jadi \(a_n\ge\sqrt2\) untuk semua \(n\ge2\).
- Turun mulai \(n=2\). Bila \(a_n\ge\sqrt2\), maka \(\tfrac2{a_n}\le a_n\), sehingga \(a_{n+1}=\tfrac12(a_n+\tfrac2{a_n})\le a_n\).
Menurut Teorema 12 (berlaku juga bila monoton baru mulai dari suku kedua), barisan konvergen. Bila limitnya \(L\), dari rekursi \(L=\tfrac12(L+\tfrac2L)\Rightarrow L^2=2\Rightarrow L=\sqrt2\) (positif karena \(a_n\ge\sqrt2\)).
Untuk mengamati konvergensi numerik dari barisan dengan rumus eksplisit, coba mode "Suku-suku barisan" pada kalkulator Python, misalnya \(a(n)=n/(n+1)\) dengan \(n\) dari 1 sampai 12.
9. Ringkasan
- Barisan = fungsi dari bilangan bulat positif; limit berarti \(a_n\) mendekati \(L\) untuk \(n\) besar.
- Hukum limit, Teorema Apit, dan kekontinuan fungsi bekerja seperti pada limit fungsi.
- Untuk \(\lim\) yang melibatkan \(\tfrac\infty\infty\), pakai l'Hôpital pada fungsi padanannya.
- \(\{r^n\}\) konvergen \(\iff-1\lt r\le1\).
- Monoton + terbatas \(\Rightarrow\) konvergen (Teorema 12).
Materi 11.2 dst. (deret, uji konvergensi, deret pangkat, Taylor) belum ada di berkas yang Anda unggah.