Daerah yang kita integrasikan jarang berupa persegi panjang. Di sini kita memperluas integral ganda ke daerah terbatas \(D\) berbentuk umum dengan menggunakan batas yang bergantung pada peubah lain.
1. Integral atas daerah umum
Untuk daerah terbatas \(D\), kurung \(D\) dalam persegi panjang \(R\) dan definisikan \(F(x,y)=f(x,y)\) bila \((x,y)\in D\) dan \(F=0\) di luar \(D\). Maka \(\iint_Df\,dA:=\iint_RF\,dA\). Dalam praktik kita memakai dua jenis daerah.
\(D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\) dengan \(g_1,g_2\) kontinu. Maka \[ \iint_Df\,dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx. \]
\(D=\{(x,y):c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}\). Maka \[ \iint_Df\,dA=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy. \]
- Gambar daerah \(D\).
- Untuk tipe I: gambar anak panah vertikal melalui \(D\) dari batas bawah ke batas atas; itulah batas \(y\). Batas \(x\) adalah ujung kiri dan kanan seluruh daerah.
- Untuk tipe II: anak panah horizontal; batas \(x\) dari kiri ke kanan, batas \(y\) adalah ujung bawah dan atas.
Batas integral dalam boleh memuat peubah luar; batas integral luar harus konstanta.
2. Contoh
\(\iint_D(x+2y)\,dA\), \(D\) antara parabola \(y=2x^2\) dan \(y=1+x^2\). Perpotongan: \(2x^2=1+x^2\Rightarrow x=\pm1\). Untuk \(-1\le x\le1\), \(2x^2\le y\le1+x^2\). \[ \int_{-1}^1\int_{2x^2}^{1+x^2}(x+2y)\,dy\,dx=\int_{-1}^1\Bigl[xy+y^2\Bigr]_{2x^2}^{1+x^2}dx=\int_{-1}^1\bigl(1+x-x^3+2x^2-3x^4\bigr)\,dx. \] Suku ganjil \(x\) dan \(-x^3\) saling menghapus pada selang simetris: \(2\bigl(1+\tfrac23-\tfrac35\bigr)=\dfrac{32}{15}\approx2{,}133\).
\(\iint_D(x+y)\,dA\), \(D\) antara \(y=x^2\) dan \(y=2x\) (titik potong \((0,0)\) dan \((2,4)\)). Sebagai tipe II: \(0\le y\le4\), \(\frac y2\le x\le\sqrt y\). Sebagai tipe I: \(0\le x\le2\), \(x^2\le y\le2x\): \(\int_0^2\Bigl[xy+\tfrac{y^2}2\Bigr]_{x^2}^{2x}dx\). Di \(y=2x\) suku dalam kurung bernilai \(2x^2+2x^2=4x^2\); di \(y=x^2\) bernilai \(x^3+\tfrac{x^4}2\). Jadi integralnya \(\int_0^2\bigl(4x^2-x^3-\tfrac{x^4}2\bigr)dx\) dan hasilnya \(\tfrac{32}3-4-\tfrac{16}5=\tfrac{160-60-48}{15}=\tfrac{52}{15}\approx3{,}467\).
\(D\): \(0\le x\le1\), \(x^2\le y\le x\). \(\displaystyle\iint_D(x+y)\,dA=\int_0^1\Bigl[xy+\tfrac{y^2}2\Bigr]_{x^2}^{x}dx=\int_0^1\Bigl(\tfrac32x^2-x^3-\tfrac12x^4\Bigr)dx=\tfrac12-\tfrac14-\tfrac1{10}=\tfrac3{20}\).
Padatan dibatasi bidang \(x+2y+z=2\) dan bidang-bidang koordinat (oktan pertama). Alas: segitiga di bidang \(xy\) dengan \(z=0\): \(x+2y=2\), jadi \(0\le x\le2\), \(0\le y\le1-\frac x2\). Tinggi \(z=2-x-2y\). \[ V=\int_0^2\int_0^{1-x/2}(2-x-2y)\,dy\,dx=\int_0^2\Bigl(1-\frac x2\Bigr)^2dx=\Bigl[-\tfrac23\bigl(1-\tfrac x2\bigr)^3\Bigr]_0^2=\tfrac23. \] Cek geometris: \(V=\frac16\cdot2\cdot1\cdot2=\frac23\) (tetrahedron dengan rusuk saling tegak lurus 2, 1, 2).
\(A(D)=\iint_D1\,dA\). Untuk daerah Contoh 1: \(\int_{-1}^1\bigl[(1+x^2)-2x^2\bigr]dx=\int_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac43\). Untuk daerah Contoh 2: \(\int_0^2(2x-x^2)dx=\frac43\). Kebetulan sama.
3. Membalik urutan integrasi
Kadang integral berulang hanya dapat dihitung bila urutannya dibalik: gambar daerah dari batas yang diberikan, lalu tulis ulang sebagai tipe lain.
\(\displaystyle\int_0^1\int_x^1e^{y^2}\,dy\,dx\). \(\int e^{y^2}dy\) tidak punya antiturunan elementer. Daerahnya \(0\le x\le1\), \(x\le y\le1\): segitiga dengan titik \((0,0),(0,1),(1,1)\). Sebagai tipe II: \(0\le y\le1\), \(0\le x\le y\). \(\displaystyle\int_0^1\int_0^ye^{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1ye^{y^2}\,dy=\Bigl[\tfrac12e^{y^2}\Bigr]_0^1=\dfrac{e-1}2\approx0{,}859\).
\(\displaystyle\int_0^2\int_{y^2}^4y\cos(x^2)\,dx\,dy\). Daerah: \(0\le y\le2\), \(y^2\le x\le4\), yaitu \(0\le x\le4\), \(0\le y\le\sqrt x\). Balik: \(\int_0^4\int_0^{\sqrt x}y\cos(x^2)\,dy\,dx=\int_0^4\tfrac x2\cos(x^2)\,dx=\tfrac14\sin(x^2)\Big|_0^4=\tfrac{\sin16}4\approx-0{,}072\).
4. Sifat tambahan
- Jika \(D=D_1\cup D_2\) dan \(D_1,D_2\) tidak tumpang tindih kecuali di batas: \(\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}\).
- \(m\,A(D)\le\iint_Df\,dA\le M\,A(D)\) bila \(m\le f\le M\).
- Nilai rata-rata: \(f_{\text{rata}}=\frac1{A(D)}\iint_Df\,dA\).
\(\iint_D\sin(x^2+y^2)\,dA\) untuk \(D\) cakram \(x^2+y^2\le\frac14\) (luas \(\frac\pi4\)). Pada \(D\): \(0\le\sin(x^2+y^2)\le\sin\frac14\approx0{,}247\). Maka \(0\le\iint\le0{,}247\cdot\frac\pi4\approx0{,}194\).
5. Kesalahan umum
- Batas luar yang memuat peubah. Batas luar harus konstanta.
- Tidak menggambar daerah, sehingga batas tertukar.
- Pada pembalikan urutan, lupa bahwa batas lama menjadi batas yang berbeda: gambar dulu.
- Salah tanda ketika kurva atas dan bawah tertukar (hasil luas negatif).
6. Ringkasan
- Tipe I: \(a\le x\le b\), \(g_1\le y\le g_2\). Tipe II: \(c\le y\le d\), \(h_1\le x\le h_2\).
- Gambar daerah, tulis batas, hitung dari dalam ke luar.
- Membalik urutan dapat menghindari antiturunan yang tak elementer.
Berikutnya 15.4: koordinat kutub.