Integral ganda dua mengukur lebih dari volume. Dengan memilih integran yang tepat kita menghitung massa lamina, pusat massa, momen inersia, probabilitas, dan nilai harapan.
1. Kerapatan dan massa
Lamina (keping tipis) menempati daerah \(D\) di bidang dengan rapat massa (massa per satuan luas) \(\rho(x,y)\) kontinu. Massa potongan kecil \(\Delta A\) di \((x,y)\) adalah \(\approx\rho\,\Delta A\); menjumlahkan: \[ m=\iint_D\rho(x,y)\,dA. \] Hal yang sama berlaku untuk muatan listrik (kerapatan muatan \(\sigma\)): \(Q=\iint_D\sigma\,dA\).
2. Momen dan pusat massa
Momen terhadap sumbu \(x\) dan \(y\): \[ M_x=\iint_Dy\,\rho\,dA,\qquad M_y=\iint_Dx\,\rho\,dA. \] Pusat massa \((\bar x,\bar y)\): \[ \bar x=\frac{M_y}m,\qquad\bar y=\frac{M_x}m. \] Bila \(\rho\) konstan, pusat massa disebut sentroid dan hanya bergantung pada bentuk \(D\).
Lamina segitiga \(D:\ 0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x\), \(\rho=x+y\). \(m=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\bigl[x(1-x)+\tfrac{(1-x)^2}2\bigr]dx=\tfrac12-\tfrac16=\tfrac13\). \(M_y=\iint x(x+y)\,dA=\tfrac18\), \(M_x=\tfrac18\) (simetri antara \(x\) dan \(y\)). Pusat massa: \(\bar x=\bar y=\dfrac{1/8}{1/3}=\dfrac38\). Bandingkan sentroid segitiga \((\frac13,\frac13)\): massa lebih terkonsentrasi menjauhi asal karena \(\rho\) naik ke arah itu.
Sentroid setengah cakram \(D:\ x^2+y^2\le a^2,\ y\ge0\) (\(\rho=1\)): \(A=\frac{\pi a^2}2\); \(\bar x=0\) (simetri). \(M_x=\iint y\,dA=\int_0^\pi\int_0^ar\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta=\tfrac{a^3}3\cdot2=\tfrac{2a^3}3\). \(\bar y=\dfrac{2a^3/3}{\pi a^2/2}=\dfrac{4a}{3\pi}\approx0{,}424a\).
3. Momen inersia
Momen inersia mengukur kesulitan memutar benda. Partikel bermassa \(m\) pada jarak \(d\) dari sumbu mempunyai momen inersia \(md^2\). Untuk lamina: \[ I_x=\iint_Dy^2\rho\,dA,\qquad I_y=\iint_Dx^2\rho\,dA,\qquad I_0=\iint_D(x^2+y^2)\rho\,dA=I_x+I_y. \] \(I_0\) adalah momen inersia polar terhadap titik asal. Jari-jari girasi \(R\) terhadap sumbu: \(mR^2=I\), jadi \(R=\sqrt{I/m}\).
Cakram \(x^2+y^2\le a^2\), \(\rho\) konstan, massa \(m=\rho\pi a^2\). \(I_0=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^ar^2\cdot r\,dr\,d\theta=\rho\cdot2\pi\cdot\tfrac{a^4}4=\tfrac12m a^2\). Karena simetri, \(I_x=I_y=\tfrac14ma^2\). Jari-jari girasi terhadap sumbu \(x\): \(R=\tfrac a2\).
Untuk lamina Contoh 1: \(I_x=\iint y^2(x+y)\,dA=\tfrac1{15}\), \(I_y=\tfrac1{15}\) (simetri), \(I_0=\tfrac2{15}\). Jari-jari girasi \(R_x=\sqrt{I_x/m}=\sqrt{\tfrac{1/15}{1/3}}=\sqrt{\tfrac15}\approx0{,}447\).
4. Probabilitas
Dua peubah acak kontinu \(X,Y\) mempunyai fungsi kerapatan gabungan \(f(x,y)\ge0\) dengan \(\iint_{\mathbb R^2}f\,dA=1\). Peluang titik \((X,Y)\) jatuh di \(D\): \[ P\bigl((X,Y)\in D\bigr)=\iint_Df(x,y)\,dA. \] Nilai harapan: \(\mu_1=E[X]=\iint x f\,dA\), \(\mu_2=E[Y]=\iint yf\,dA\).
\(f(x,y)=x+y\) pada \([0,1]^2\) (nol di tempat lain). Cek: \(\int_0^1\int_0^1(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1(x+\tfrac12)dx=1\). \(P(X+Y\le1)=\int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx=\tfrac13\). \(E[X]=\iint x(x+y)\,dA=\tfrac13+\tfrac14=\tfrac7{12}\approx0{,}583\) (sama untuk \(Y\)).
\(f(x,y)=2e^{-x-2y}\) untuk \(x,y\ge0\). Cek: \(\int_0^\infty e^{-x}dx\cdot\int_0^\infty2e^{-2y}dy=1\cdot1\). Karena \(f\) terpisah, \(X\) dan \(Y\) bebas. \(P(X\gt Y)=\int_0^\infty\int_y^\infty2e^{-x-2y}dx\,dy=\int_0^\infty2e^{-3y}dy=\tfrac23\). \(E[X]=1\), \(E[Y]=\tfrac12\).
5. Muatan dan nilai rata-rata
Muatan terdistribusi pada cakram \(x^2+y^2\le1\) dengan kerapatan \(\sigma=\sqrt{x^2+y^2}\) C/m². \(Q=\int_0^{2\pi}\int_0^1r\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac13=\tfrac{2\pi}3\approx2{,}094\) C.
Suhu \(T=100-x^2-y^2\) pada cakram \(x^2+y^2\le4\). \(\iint T\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2(100-r^2)r\,dr\,d\theta=2\pi(200-4)=392\pi\). Luas \(4\pi\). Suhu rata-rata \(=\dfrac{392\pi}{4\pi}=98\).
6. Kesalahan umum
- Lupa membagi momen dengan massa saat mencari \(\bar x,\bar y\).
- Menyamakan sentroid dan pusat massa saat \(\rho\) tidak konstan.
- Menulis \(I_x=\iint x^2\rho\,dA\): momen terhadap sumbu \(x\) memakai \(y^2\).
- Kerapatan peluang yang tidak berintegral 1.
7. Ringkasan
- \(m=\iint\rho\,dA\); \(\bar x=M_y/m\), \(\bar y=M_x/m\).
- \(I_x=\iint y^2\rho\), \(I_y=\iint x^2\rho\), \(I_0=I_x+I_y\).
- Peluang \(=\iint_Df\,dA\); \(E[X]=\iint xf\,dA\).
Berikutnya 15.6 Luas Permukaan.