Di Bab 10 kita menggambarkan kurva bidang dengan persamaan parametrik \(x=f(t),\,y=g(t)\). Di ruang, kurva memerlukan tiga fungsi. Menggabungkannya menjadi satu objek bervektor memberi alat yang kuat: fungsi vektor, yang memungkinkan kita memakai kalkulus untuk membahas gerak, kecepatan, dan percepatan (13.4).
1. Fungsi vektor
Fungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya himpunan bilangan real dan daerah hasilnya himpunan vektor. Di ruang, \[ \mathbf r(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle=f(t)\,\mathbf i+g(t)\,\mathbf j+h(t)\,\mathbf k, \] dengan \(f,g,h\) fungsi bernilai real (disebut fungsi komponen). Daerah asal \(\mathbf r\) adalah irisan daerah asal ketiga komponennya.
\(\mathbf r(t)=\langle\ln(4-t^2),\ \sqrt{t+1},\ \dfrac1{t-1}\rangle\). Syarat: \(4-t^2\gt0\Rightarrow-2\lt t\lt2\); \(t+1\ge0\Rightarrow t\ge-1\); \(t\ne1\). Daerah asal: \([-1,1)\cup(1,2)\).
2. Kurva ruang
Bila \(t\) berubah, ujung vektor posisi \(\mathbf r(t)\) menggambar sebuah kurva ruang \(C\). Persamaan parametriknya \(x=f(t),\,y=g(t),\,z=h(t)\), dan \(\mathbf r\) disebut parametrisasi \(C\). Satu kurva dapat diparametrisasi dengan banyak cara.
Limit dan kekontinuan
\[ \lim_{t\to a}\mathbf r(t)=\Bigl\langle\lim_{t\to a}f(t),\ \lim_{t\to a}g(t),\ \lim_{t\to a}h(t)\Bigr\rangle \] asalkan ketiga limit komponen ada. \(\mathbf r\) kontinu di \(a\) bila \(\lim_{t\to a}\mathbf r(t)=\mathbf r(a)\); ini setara dengan kekontinuan ketiga komponen.
\(\displaystyle\lim_{t\to0}\Bigl\langle\frac{\sin t}t,\ e^{2t},\ \frac{1-\cos t}{t^2}\Bigr\rangle=\langle1,1,\tfrac12\rangle\).
3. Kurva-kurva penting
Garis lurus
Garis melalui \(\mathbf r_0\) dengan arah \(\mathbf v\): \(\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\mathbf v\) (12.5). Ruas dari \(\mathbf r_0\) ke \(\mathbf r_1\): \(\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_0+t\mathbf r_1\), \(0\le t\le1\).
Heliks (spiral)
\(\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle\). Karena \(x^2+y^2=1\), kurva terletak pada silinder lingkaran \(x^2+y^2=1\) (12.6). Sementara \(t\) naik, titik berputar mengelilingi silinder dan naik dengan laju tetap: \(z=t\). Satu putaran (\(t\) naik \(2\pi\)) menaikkan \(z\) sebesar \(2\pi\). Bentuk umum \(\langle a\cos t,\,a\sin t,\,bt\rangle\) berjari-jari \(a\) dan "tinggi ulir" \(2\pi b\) per putaran. Bila \(b\lt0\) heliks berputar ke arah sebaliknya.
Kubik terpilin
\(\mathbf r(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\). Proyeksi pada bidang \(xy\): \(y=x^2\); pada bidang \(xz\): \(z=x^3\); pada bidang \(yz\): \(z^2=y^3\). Kurva terletak pada silinder parabolik \(y=x^2\) sekaligus silinder \(z=x^3\).
4. Kurva sebagai irisan permukaan
Kurva sering diberikan sebagai perpotongan dua permukaan. Untuk menparametrisasinya, pilih parametrisasi salah satu kurva proyeksi, lalu cari peubah ketiga dari persamaan kedua.
Cari parametrisasi perpotongan silinder \(x^2+y^2=1\) dan bidang \(y+z=2\). Proyeksi pada bidang \(xy\) adalah lingkaran satuan: \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), \(0\le t\le2\pi\). Dari bidang, \(z=2-y=2-\sin t\). Jadi \[ \mathbf r(t)=\langle\cos t,\ \sin t,\ 2-\sin t\rangle. \] Kurva ini sebuah elips (irisan bidang miring dengan silinder), terletak pada bidang \(y+z=2\).
Perpotongan \(z=x^2+y^2\) dengan \(z=4\): lingkaran \(x^2+y^2=4\) pada tinggi 4, \(\mathbf r(t)=\langle2\cos t,\,2\sin t,\,4\rangle\). Perpotongan \(z=x^2+y^2\) dengan bidang \(y=x\): \(z=2x^2\), \(\mathbf r(t)=\langle t,\,t,\,2t^2\rangle\) (parabola).
Bola \(x^2+y^2+z^2=4\) dan silinder \((x-1)^2+y^2=1\), yaitu \(x^2+y^2=2x\). Parametrisasi silinder: \(x=1+\cos t\), \(y=\sin t\). Maka \(z^2=4-2x=2-2\cos t=4\sin^2\!\frac t2\), jadi \(z=\pm2\sin\frac t2\). Kurva (dua cabang untuk \(0\le t\le2\pi\)): \(\langle1+\cos t,\ \sin t,\ 2\sin\frac t2\rangle\) dan cerminannya di \(z\to-z\).
5. Perpotongan versus tabrakan
Dua kurva yang berpotongan di suatu titik belum tentu "bertabrakan". Misalkan dua partikel bergerak sepanjang kurva \(\mathbf r_1(t)\) dan \(\mathbf r_2(s)\). Kurva berpotongan bila ada \(t,s\) dengan \(\mathbf r_1(t)=\mathbf r_2(s)\). Partikel bertabrakan bila \(\mathbf r_1(t)=\mathbf r_2(t)\): titik yang sama pada waktu yang sama.
\(\mathbf r_1(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\) dan garis sekan \(\mathbf r_2(s)=\langle1+s,\,1+3s,\,1+7s\rangle\). Samakan: \(t=1+s\), \(t^2=1+3s\), \(t^3=1+7s\). Dari yang pertama dan kedua: \((1+s)^2=1+3s\Rightarrow s^2-s=0\Rightarrow s=0\) atau \(s=1\). Untuk \(s=0\): \(t=1\), dan \(t^3=1=1+0\) benar: titik \((1,1,1)\). Untuk \(s=1\): \(t=2\), \(t^3=8=1+7\) benar: titik \((2,4,8)\). Jadi dua titik potong. Tabrakan memerlukan \(t=s\): dari \(t=1+s\) mustahil. Kedua partikel tidak pernah bertabrakan, meskipun jalurnya berpotongan.
6. Kesalahan umum
- Menganggap kurva dan parametrisasinya sama. Kurva adalah himpunan titik; parametrisasi juga menentukan arah dan kecepatan penelusuran.
- Lupa memeriksa daerah asal tiap komponen (akar, logaritma, penyebut).
- Menyamakan perpotongan kurva dengan tabrakan partikel.
- Pada parametrisasi irisan permukaan: mengambil satu proyeksi tetapi lupa memeriksa kedua persamaan permukaan.
7. Ringkasan
- \(\mathbf r(t)=\langle f,g,h\rangle\); limit dan kekontinuan dihitung per komponen.
- Kurva penting: garis \(\mathbf r_0+t\mathbf v\), heliks \(\langle a\cos t,a\sin t,bt\rangle\), kubik terpilin \(\langle t,t^2,t^3\rangle\).
- Parametrisasi irisan permukaan: parametrisasikan proyeksi, lalu selesaikan peubah ketiga.
- Perpotongan jalur \(\ne\) tabrakan.
Berikutnya 13.2: turunan dan integral fungsi vektor.