Sampai sekarang suku deret berupa bilangan. Bila suku-sukunya adalah fungsi dari \(x\), deret itu mendefinisikan sebuah fungsi (nilainya jumlah deret untuk tiap \(x\) yang membuatnya konvergen). Kelas fungsi yang paling penting dibangun dari pangkat \(x\), mirip polinomial berderajat tak hingga: deret pangkat.
1. Definisi
Deret pangkat dalam \(x\) adalah deret berbentuk \[ \sum_{n=0}^\infty c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots, \] dengan \(c_n\) konstanta (koefisien). Lebih umum, deret pangkat dalam \((x-a)\) (atau berpusat di \(a\)): \[ \sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots. \]
Untuk tiap \(x\) tetap, ini adalah deret bilangan biasa yang kekonvergenannya dapat diuji. Pertanyaan kunci: untuk \(x\) mana deretnya konvergen? Selalu konvergen di pusat \(x=a\) (semua suku kecuali \(c_0\) nol).
Contoh paling sederhana: deret geometri \(\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\cdots\) konvergen ke \(\dfrac1{1-x}\) bila \(|x|\lt1\) dan divergen bila \(|x|\ge1\). Jadi daerah konvergennya adalah selang \((-1,1)\).
2. Uji rasio untuk deret pangkat
Rasio: \(\left|\dfrac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}\right|=(n+1)|x|\to\infty\) bila \(x\ne0\). Divergen untuk semua \(x\ne0\); konvergen hanya di \(x=0\).
\(\left|\dfrac{(x-3)^{n+1}/(n+1)}{(x-3)^n/n}\right|=\dfrac n{n+1}|x-3|\to|x-3|\). Konvergen mutlak bila \(|x-3|\lt1\) (\(2\lt x\lt4\)), divergen bila \(|x-3|\gt1\). Titik ujung:
- \(x=4\): \(\sum\frac1n\), harmonik, divergen.
- \(x=2\): \(\sum\frac{(-1)^n}n\), konvergen (Leibniz).
Jadi daerah konvergen adalah \([2,4)\): ujung kiri ikut, ujung kanan tidak.
Rasio \(\dfrac{|x|}{n+1}\to0\lt1\) untuk setiap \(x\). Konvergen untuk semua bilangan real. (Ini deret untuk \(e^x\).)
3. Teorema radius kekonvergenan
Untuk deret pangkat \(\sum c_n(x-a)^n\), hanya ada tiga kemungkinan:
- deret konvergen hanya di \(x=a\);
- deret konvergen untuk semua \(x\);
- ada bilangan \(R\gt0\) sehingga deret konvergen mutlak bila \(|x-a|\lt R\) dan divergen bila \(|x-a|\gt R\).
Bilangan \(R\) disebut radius kekonvergenan (\(R=0\) pada kasus 1, \(R=\infty\) pada kasus 2). Himpunan \(x\) tempat deret konvergen disebut selang kekonvergenan: \((a-R,a+R)\) ditambah mungkin salah satu atau kedua titik ujung.
Gagasan bukti. Jika deret konvergen di \(x=b\), maka suku-suku \(c_nb^n\) terbatas; untuk \(|x|\lt|b|\), \(|c_nx^n|\le M\,|x/b|^n\), yaitu dibatasi oleh deret geometri konvergen. Jadi kekonvergenan di satu titik memaksa kekonvergenan mutlak di semua titik yang lebih dekat ke pusat.
Cara menghitung \(R\). Terapkan uji rasio (atau akar) pada \(|c_n(x-a)^n|\); bila \(\lim\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right|=L\), maka \(R=\dfrac1L\) (dengan \(R=\infty\) bila \(L=0\), \(R=0\) bila \(L=\infty\)). Titik ujung harus diperiksa tersendiri, karena uji rasio selalu gagal di sana (\(L=1\)).
4. Contoh mencari selang
Rasio koefisien \(\frac{n^2}{(n+1)^2}\to1\), jadi \(R=1\). Ujung: \(x=1\): \(\sum\frac1{n^2}\) konvergen; \(x=-1\): \(\sum\frac{(-1)^n}{n^2}\) konvergen. Selang \([-1,1]\).
Uji rasio: \(\dfrac{|3x-2|}{5}\lt1\iff|3x-2|\lt5\iff-1\lt x\lt\dfrac73\). Ujung:
- \(x=-1\): \(3x-2=-5\), deret \(\sum\dfrac{(-5)^n}{n5^n}=\sum\dfrac{(-1)^n}n\), konvergen.
- \(x=\frac73\): \(3x-2=5\), deret \(\sum\frac1n\), divergen.
Selang \([-1,\tfrac73)\). Perhatikan: pusatnya \(x=\frac23\) dan \(R=\frac53\) (bukan 5; faktor 3 pada \(3x\) harus dikeluarkan: \(|3x-2|=3|x-\frac23|\)).
Rasio: \(\dfrac{x^{2n+2}}{2^{2n+2}((n+1)!)^2}\cdot\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{x^{2n}}=\dfrac{x^2}{4(n+1)^2}\to0\). Konvergen untuk semua \(x\) (\(R=\infty\)). Fungsi ini muncul pada getaran membran lingkaran (drum) dan penyebaran panas dalam silinder.
Koefisien \(c_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\); \(\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{2(2n+1)}{n+1}\to4\), jadi \(R=\frac14\). Ujung \(x=\frac14\): suku \(\binom{2n}n4^{-n}\approx\dfrac1{\sqrt{\pi n}}\) (tidak menuju 0 secepat \(1/n\)); jumlahnya diverge karena \(\sum n^{-1/2}\) divergen. Ujung \(x=-\frac14\): berganti tanda, \(b_n=\binom{2n}n4^{-n}\) menurun (rasio \(\frac{2n+1}{2n+2}\lt1\)) dan \(\to0\), jadi konvergen. Selang \([-\frac14,\frac14)\).
Ini geometri dengan rasio \(\dfrac{x^2}{4}\): konvergen bila \(x^2\lt4\), yaitu \(|x|\lt2\). Ujung \(x=\pm2\): suku \(=1\), divergen. Selang \((-2,2)\), \(R=2\). (Uji rasio pada koefisien saja salah karena banyak koefisien nol; gunakan uji rasio pada suku.)
5. Turunan dan integral deret pangkat
Jika \(f(x)=\sum c_n(x-a)^n\) mempunyai radius \(R\gt0\), maka \(f\) terdiferensialkan pada \((a-R,a+R)\), dan \[ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1},\qquad\int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^\infty c_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}. \] Kedua deret ini mempunyai radius kekonvergenan yang sama dengan \(R\) (selang di titik ujung boleh berubah).
Artinya deret pangkat boleh diturunkan dan diintegralkan seperti polinomial, tetapi hanya di dalam selang \(|x-a|\lt R\).
\(\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac1{1-x}\) pada \(|x|\lt1\). Turunkan: \(\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\dfrac1{(1-x)^2}\), \(|x|\lt1\). Ujung \(x=\pm1\) kini divergen (suku tidak menuju 0), jadi selang tetap \((-1,1)\).
Misalkan \(f(x)=\sum\frac{x^n}{n!}\) (Contoh 3). \(f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=f(x)\). Jadi \(f'=f\) dan \(f(0)=1\), maka \(f(x)=e^x\). Ini penjelasan mengapa deret itu mewakili fungsi eksponensial.
Cari deret pangkat solusi \(y''=-y\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\). Tulis \(y=\sum c_nx^n\); \(y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}\). Menyamakan koefisien \(x^n\): \((n+2)(n+1)c_{n+2}=-c_n\). Dari \(y(0)=0\): \(c_0=0\); \(y'(0)=1\): \(c_1=1\). Maka \(c_2=0\), \(c_3=-\frac16\), \(c_5=\frac1{120},\ldots\) yaitu \(y=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sin x\).
6. Kesalahan umum
- Lupa memeriksa titik ujung selang.
- Salah mengira radius pada deret seperti \(\sum(3x-2)^n\): ubah ke bentuk \(|x-a|\lt R\).
- Memakai rasio koefisien bila ada koefisien nol; pakai rasio suku lengkap.
- Menganggap selang turunan sama persis dengan selang fungsi (titik ujung bisa berubah).
7. Ringkasan
- Deret pangkat: \(\sum c_n(x-a)^n\); selang kekonvergenannya berpusat di \(a\) dengan radius \(R\in[0,\infty]\).
- Hitung \(R\) dengan uji rasio/akar; periksa ujung dengan uji lain.
- Boleh diturunkan dan diintegralkan suku demi suku dalam \(|x-a|\lt R\).
Selanjutnya 11.9: menyatakan fungsi-fungsi sebagai deret pangkat.