Untuk padatan yang simetris terhadap sebuah titik (bola, kerucut berpusat di titik asal, bagian bola), koordinat bola adalah pilihan terbaik.
1. Koordinat bola
Titik \(P\) dinyatakan oleh \((\rho,\theta,\phi)\):
- \(\rho=|OP|\ge0\): jarak dari titik asal,
- \(\theta\): sudut azimut, sama seperti pada koordinat tabung (diukur dari sumbu \(x\) positif di bidang \(xy\)),
- \(\phi\in[0,\pi]\): sudut antara sumbu \(z\) positif dan ruas garis \(OP\).
Dari segitiga siku-siku \(OPQ\) dengan \(Q\) proyeksi \(P\) di bidang \(xy\): \(|OQ|=r=\rho\sin\phi\) dan \(z=\rho\cos\phi\). Maka \[ x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi, \] \[ \rho^2=x^2+y^2+z^2. \]
Permukaan: \(\rho=c\) bola berpusat di asal; \(\theta=c\) setengah bidang vertikal; \(\phi=c\) kerucut (setengah kerucut) dengan puncak di asal; \(\phi=\frac\pi2\) bidang \(xy\).
- \((\rho,\theta,\phi)=(2,\tfrac\pi4,\tfrac\pi3)\): \(x=2\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt6}2\), \(y=\frac{\sqrt6}2\), \(z=2\cos\frac\pi3=1\).
- Titik \((0,2,-2)\): \(\rho=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2\), \(\cos\phi=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2}\Rightarrow\phi=\frac{3\pi}4\), \(\theta=\frac\pi2\).
- \(z=\sqrt{x^2+y^2}\): \(\rho\cos\phi=\rho\sin\phi\Rightarrow\phi=\frac\pi4\) (kerucut).
- \(x^2+y^2+z^2=2z\): \(\rho^2=2\rho\cos\phi\Rightarrow\rho=2\cos\phi\), bola \(x^2+y^2+(z-1)^2=1\).
- \(x^2+y^2=1\): \(\rho\sin\phi=1\), silinder (kurang cocok di koordinat bola).
2. Elemen volume
Potongan kecil padatan dibatasi \(\rho\) sampai \(\rho+\Delta\rho\), \(\phi\) sampai \(\phi+\Delta\phi\), \(\theta\) sampai \(\theta+\Delta\theta\). Ia hampir berupa balok dengan rusuk: \(\Delta\rho\) (arah radial), \(\rho\Delta\phi\) (busur lingkaran besar), dan \(\rho\sin\phi\,\Delta\theta\) (busur sejajar bidang \(xy\), jari-jari \(\rho\sin\phi\)). Volume \(\approx\rho^2\sin\phi\,\Delta\rho\Delta\phi\Delta\theta\).
\[ \iiint_Ef\,dV=\int_\alpha^\beta\int_c^d\int_a^bf(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)\;\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta \] untuk \(E=\{a\le\rho\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta,\ c\le\phi\le d\}\) ("baji bola"). \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\).
3. Contoh
\(V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot\tfrac{a^3}3=\tfrac43\pi a^3\).
\(\displaystyle\iiint_Be^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dV\), \(B\) bola satuan: \(\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1e^{\rho^3}\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot\tfrac13(e-1)=\tfrac{4\pi}3(e-1)\approx7{,}198\).
Padatan di dalam bola \(\rho\le2\) dan di atas kerucut \(\phi=\frac\pi4\) (yaitu \(0\le\phi\le\frac\pi4\)): \(V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac83\bigl(1-\cos\tfrac\pi4\bigr)=\tfrac{16\pi}3\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}2\bigr)=\tfrac{8\pi}3(2-\sqrt2)\approx4{,}907\). Sama dengan hasil 15.8 Contoh 6, tetapi jauh lebih singkat. Rumus umum untuk bola jari-jari \(a\) dengan sudut setengah puncak \(\phi_0\): \(V=\frac{2\pi a^3}3(1-\cos\phi_0)\).
Padatan \(1\le\rho\le2\), \(0\le\phi\le\frac\pi3\), \(0\le\theta\le2\pi\): \(V=2\pi\bigl(1-\cos\tfrac\pi3\bigr)\cdot\tfrac{8-1}3=2\pi\cdot\tfrac12\cdot\tfrac73=\tfrac{7\pi}3\approx7{,}33\).
\(\displaystyle\iiint_Hz\,dV\), \(H\) belahan bola atas jari-jari \(a\): \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^a\rho\cos\phi\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac{a^4}4\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi a^4}4\). Volume \(H=\frac23\pi a^3\). Maka \(\bar z=\dfrac{\pi a^4/4}{2\pi a^3/3}=\dfrac{3a}8\): pusat massa belahan bola homogen berada di \(\frac38a\) di atas pusatnya.
Bola padat homogen (kerapatan \(\rho_0\), massa \(m=\frac43\pi a^3\rho_0\)): \(I_z=\rho_0\iiint(x^2+y^2)\,dV=\rho_0\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a\rho^2\sin^2\phi\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=\rho_0\cdot2\pi\cdot\tfrac{a^5}5\cdot\tfrac43=\tfrac{8\pi\rho_0a^5}{15}=\tfrac25ma^2\). (Gunakan \(\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi=\frac43\).)
Jarak rata-rata titik di dalam bola jari-jari \(a\) dari pusatnya: \(\dfrac{\iiint\rho\,dV}{V}=\dfrac{4\pi\cdot a^4/4}{4\pi a^3/3}=\tfrac34a\) (lebih besar dari \(\frac a2\) karena volume lebih banyak di dekat permukaan).
Bola \(x^2+y^2+(z-1)^2\le1\) berpersamaan \(\rho\le2\cos\phi\), \(0\le\phi\le\frac\pi2\). Volume \(=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\tfrac{(2\cos\phi)^3}3\sin\phi\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac83\cdot\tfrac14=\tfrac{4\pi}3\). Benar untuk bola jari-jari 1.
4. Memilih koordinat
| Bentuk padatan / integran | Koordinat |
|---|---|
| Persegi panjang, tetrahedron, bidang | Kartesius |
| Silinder, paraboloid putar, memuat \(x^2+y^2\) | Tabung |
| Bola, kerucut berpuncak di asal, memuat \(x^2+y^2+z^2\) | Bola |
5. Kesalahan umum
- Memakai \(\phi\) untuk sudut di bidang \(xy\) dan \(\theta\) untuk sudut dari sumbu \(z\) (tertukar dengan konvensi di sini).
- Lupa faktor \(\rho^2\sin\phi\) (bukan hanya \(\rho^2\)).
- \(\phi\) berada pada \([0,\pi]\), bukan \([0,2\pi]\).
- Lupa mengubah \(z=\rho\cos\phi\) pada integran.
6. Ringkasan
- \(x=\rho\sin\phi\cos\theta\), \(y=\rho\sin\phi\sin\theta\), \(z=\rho\cos\phi\).
- \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\).
- Cocok untuk bola dan kerucut berpusat di titik asal.
Berikutnya 15.10: perubahan peubah secara umum.