14.1 Fungsi Beberapa Peubah · Kalkulus Multivariabel

Sebagian besar besaran di dunia nyata bergantung pada lebih dari satu peubah: suhu di suatu titik bergantung pada posisi \((x,y,z)\) dan waktu \(t\); volume silinder bergantung pada \(r\) dan \(h\); hasil produksi bergantung pada tenaga kerja dan modal. Bab 14 mengembangkan kalkulus diferensial untuk fungsi seperti itu.

1. Definisi

Fungsi dua peubah

Fungsi dua peubah \(f\) adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut \((x,y)\) dalam himpunan \(D\subseteq\mathbb R^2\) (daerah asal) dengan tepat satu bilangan real \(f(x,y)\). Daerah hasil (range) adalah himpunan semua nilai \(f(x,y)\). Fungsi tiga peubah \(f(x,y,z)\) didefinisikan serupa dengan \(D\subseteq\mathbb R^3\); fungsi \(n\) peubah \(f(x_1,\dots,x_n)\) memakai \(\mathbb R^n\).

Bila daerah asal tidak disebutkan, kita ambil himpunan terbesar titik yang membuat rumusnya bermakna.

Contoh 1 — mencari daerah asal

\(f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}\): syarat \(9-x^2-y^2\ge0\), jadi \(D=\{x^2+y^2\le9\}\), cakram tertutup berjari-jari 3. Daerah hasil \([0,3]\).
\(f(x,y)=\ln(x+y-1)\): syarat \(x+y\gt1\), setengah bidang di atas garis \(y=1-x\) (tanpa garisnya). Daerah hasil \(\mathbb R\).
\(f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2-y^2}\): syarat \(x\ne\pm y\), seluruh bidang tanpa dua garis \(y=x\), \(y=-x\).
\(f(x,y,z)=\sqrt{z-x^2-y^2}\;/\;\ln(4-z)\): syarat \(z\ge x^2+y^2\), \(z\lt4\), \(z\ne3\). Daerah di dalam paraboloid, di bawah bidang \(z=4\), tanpa bidang \(z=3\).

Contoh 2 — model nyata

Bunga majemuk bulanan: \(A(P,r,t)=P\bigl(1+\tfrac r{12}\bigr)^{12t}\). \(A(1000;\,0{,}06;\,5)=1000(1{,}005)^{60}\approx1348{,}85\).
Produksi Cobb–Douglas: \(P(L,K)=2L^{0,6}K^{0,4}\). \(P(100,100)=200\); bila tenaga kerja digandakan dan modal dipangkas setengah, \(P(200,50)=2\cdot200^{0,6}50^{0,4}\approx229{,}7\), naik sekitar 14,9%.
Volume silinder: \(V(r,h)=\pi r^2h\).

2. Grafik

Grafik

Grafik \(f\) dengan daerah asal \(D\) adalah himpunan \(\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ z=f(x,y),\ (x,y)\in D\}\). Ini sebuah permukaan di ruang: tinggi permukaan di atas titik \((x,y)\) adalah \(f(x,y)\).

Contoh 3 — grafik \(f=4-x^2-y^2\)

Grafiknya \(z=4-x^2-y^2\) adalah paraboloid eliptik yang membuka ke bawah (12.6) dengan puncak \((0,0,4)\). Ia memotong bidang \(xy\) di lingkaran \(x^2+y^2=4\). Bila kita batasi \(z\ge0\), diperoleh mangkuk terbalik di atas cakram jari-jari 2.

Grafik z=4-x^2-y^2 — Grafik \(f(x,y)=4-x^2-y^2\) untuk \(z\ge0\).

Contoh 4 — grafik fungsi sederhana

\(f(x,y)=3-x-y\): bidang miring (12.5) yang memotong sumbu di \(x=3,\,y=3,\,z=3\).
\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\): kerucut (belahan atas).
\(f(x,y)=\sin x\): silinder bergelombang (peubah \(y\) tidak muncul).
\(f(x,y)=xy\): permukaan pelana (paraboloid hiperbolik yang diputar).

3. Kurva ketinggian (kontur)

Kurva ketinggian

Kurva ketinggian (level curve) \(f\) adalah himpunan semua titik \((x,y)\) di daerah asal dengan \(f(x,y)=k\), dengan \(k\) konstanta. Ia adalah proyeksi ke bidang \(xy\) dari irisan grafik dengan bidang \(z=k\). Peta kontur adalah kumpulan kurva ketinggian untuk beberapa nilai \(k\).

Pada peta topografi, garis kontur menghubungkan titik berketinggian sama; pada peta cuaca, isoterm menghubungkan titik bersuhu sama dan isobar titik bertekanan sama. Kontur yang rapat berarti permukaan curam; kontur yang renggang berarti landai.

Contoh 5 — kontur dua fungsi

\(f=x^2+y^2\): kurva ketinggian \(x^2+y^2=k\) adalah lingkaran konsentris berjari-jari \(\sqrt k\) (\(k\gt0\)). Jarak jari-jari: untuk \(k=1,4,9\) jari-jarinya \(1,2,3\): kontur makin rapat ke arah luar karena permukaan makin curam.
\(f=x^2-y^2\): \(x^2-y^2=k\) hiperbola; untuk \(k=0\) dua garis \(y=\pm x\). Pola khas pelana.

Contoh 6 — fungsi dari kontur

Kurva ketinggian \(f(x,y)=\dfrac{y}{x^2}\) dengan \(f=k\): \(y=kx^2\), keluarga parabola yang melalui titik asal (tanpa titik asalnya). Jadi nilai \(k\) menyatakan "kelengkungan" parabola.

4. Fungsi tiga peubah dan permukaan ketinggian

Grafik \(f(x,y,z)\) berada di \(\mathbb R^4\) dan tidak dapat digambar. Kita memvisualisasikannya lewat permukaan ketinggian \(f(x,y,z)=k\).

Contoh 7 — permukaan ketinggian

\(f=x^2+y^2+z^2\): \(f=k\) bola berjari-jari \(\sqrt k\), makin besar bola untuk \(k\) naik.
\(f=x^2+y^2-z^2\): \(k\gt0\) hiperboloid satu lembar, \(k\lt0\) hiperboloid dua lembar, \(k=0\) kerucut (12.6).
\(f=x+2y+3z\): bidang-bidang sejajar, \(x+2y+3z=k\).
\(f=\dfrac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\): bola-bola konsentris; model potensial gravitasi atau listrik (potensial sama pada bola).

Contoh 8 — suhu

Suhu pelat tipis \(T(x,y)=\dfrac{100}{1+x^2+2y^2}\) (derajat C). Isoterm \(T=20\): \(1+x^2+2y^2=5\Rightarrow x^2+2y^2=4\), sebuah elips dengan setengah sumbu 2 (arah \(x\)) dan \(\sqrt2\) (arah \(y\)). Suhu maksimum 100 di titik asal.

5. Kesalahan umum

Mengira kurva ketinggian adalah kurva pada grafik. Kurva ketinggian berada di bidang \(xy\); kurva pada grafik adalah jejak di tinggi \(k\).
Lupa membatasi daerah asal (akar, logaritma, penyebut).
Mengira dua kurva ketinggian berbeda dapat berpotongan: karena \(f\) memberi tepat satu nilai di tiap titik, kurva ketinggian untuk \(k\) berbeda tidak pernah berpotongan.

6. Ringkasan

\(f:D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R\); grafik fungsi dua peubah adalah permukaan \(z=f(x,y)\).
Kurva ketinggian \(f(x,y)=k\); permukaan ketinggian \(f(x,y,z)=k\).
Peta kontur menunjukkan kecuraman: rapat \(=\) curam.

Berikutnya 14.2: limit dan kekontinuan.