Sampai di sini kita sudah bisa menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan skalar. Bagaimana dengan mengalikan dua vektor? Ada dua cara yang bermakna: hasil kali titik (hasilnya skalar), dibahas di sini, dan hasil kali silang (hasilnya vektor), dibahas di 12.4.
1. Definisi
Untuk \(\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\) dan \(\mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\), hasil kali titik (dot product, atau hasil kali skalar) adalah bilangan \[ \mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. \] (Di dua dimensi: \(a_1b_1+a_2b_2\).)
\(\langle2,4\rangle\cdot\langle3,-1\rangle=6-4=2\). \(\langle-1,7,4\rangle\cdot\langle6,2,-\tfrac12\rangle=-6+14-2=6\). \((\mathbf i+2\mathbf j-3\mathbf k)\cdot(2\mathbf j-\mathbf k)=0+4+3=7\).
Sifat-sifat
Untuk vektor \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\) dan skalar \(c\):
- \(\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2\)
- \(\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a\)
- \(\mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c\)
- \((c\mathbf a)\cdot\mathbf b=c(\mathbf a\cdot\mathbf b)=\mathbf a\cdot(c\mathbf b)\)
- \(\mathbf0\cdot\mathbf a=0\)
Semuanya terbukti dengan menjabarkan menjadi komponen.
2. Sudut antara dua vektor
Hasil kali titik sangat berguna karena memiliki tafsiran geometris. Sudut antara dua vektor tak nol \(\mathbf a\) dan \(\mathbf b\) adalah sudut \(\theta\) (\(0\le\theta\le\pi\)) di antara keduanya bila titik awalnya berimpit.
\[ \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta. \] Akibatnya \(\displaystyle\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}\).
Bukti
Bentuk segitiga dengan sisi \(\mathbf a\), \(\mathbf b\), dan \(\mathbf a-\mathbf b\). Hukum kosinus: \(|\mathbf a-\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-2|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta\). Di sisi lain, dengan sifat 1 sampai 3, \[ |\mathbf a-\mathbf b|^2=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)=|\mathbf a|^2-2\,\mathbf a\cdot\mathbf b+|\mathbf b|^2. \] Samakan kedua ungkapan: \(-2\,\mathbf a\cdot\mathbf b=-2|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta\). \(\blacksquare\)
\(\mathbf a=\langle2,2,-1\rangle\), \(\mathbf b=\langle5,-3,2\rangle\). \(\mathbf a\cdot\mathbf b=10-6-2=2\), \(|\mathbf a|=3\), \(|\mathbf b|=\sqrt{38}\). \(\cos\theta=\dfrac2{3\sqrt{38}}\approx0{,}108\), \(\theta\approx83{,}8^\circ\).
Titik \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\). Sudut di \(A\): \(\overrightarrow{AB}=\langle-1,1,0\rangle\), \(\overrightarrow{AC}=\langle-1,0,1\rangle\), dot \(=1\), panjang masing-masing \(\sqrt2\): \(\cos A=\frac12\), \(A=60^\circ\). Segitiga sama sisi, jadi semua sudutnya \(60^\circ\).
Tegak lurus dan sejajar
Karena \(\cos\theta=0\iff\theta=\frac\pi2\):
Dua vektor \(\mathbf a,\mathbf b\) ortogonal (tegak lurus) bila dan hanya bila \(\mathbf a\cdot\mathbf b=0\). (Vektor nol dianggap ortogonal ke semua vektor.) Sejajar searah: \(\cos\theta=1\); berlawanan arah: \(\cos\theta=-1\).
\(\langle2,2,-1\rangle\cdot\langle5,-4,2\rangle=10-8-2=0\): tegak lurus. Cari \(t\) supaya \(\langle t,2,-1\rangle\perp\langle3,t,4\rangle\): \(3t+2t-4=0\Rightarrow t=\frac45\).
\(\mathbf a\cdot\mathbf b\gt0\): sudut lancip; \(=0\): siku-siku; \(\lt0\): sudut tumpul.
3. Sudut dan kosinus arah
Sudut yang dibentuk \(\mathbf a\) dengan sumbu \(x,y,z\) positif adalah sudut arah \(\alpha,\beta,\gamma\). Dari \(\mathbf a\cdot\mathbf i=a_1\) diperoleh \[ \cos\alpha=\frac{a_1}{|\mathbf a|},\quad\cos\beta=\frac{a_2}{|\mathbf a|},\quad\cos\gamma=\frac{a_3}{|\mathbf a|},\qquad\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1. \] Vektor satuan searah \(\mathbf a\) adalah \(\langle\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\rangle\).
\(\mathbf a=\langle1,2,3\rangle\), \(|\mathbf a|=\sqrt{14}\): \(\cos\alpha=\frac1{\sqrt{14}}\Rightarrow\alpha\approx74{,}5^\circ\), \(\beta\approx57{,}7^\circ\), \(\gamma\approx36{,}7^\circ\). Cek: \(\frac{1+4+9}{14}=1\) ✓.
4. Proyeksi
Jatuhkan garis tegak lurus dari ujung \(\mathbf a\) ke garis yang memuat \(\mathbf b\). Panjang bayangan \(\mathbf a\) pada arah \(\mathbf b\) adalah \(|\mathbf a|\cos\theta\).
Untuk \(\mathbf b\ne\mathbf0\): \[ \text{proyeksi skalar (komponen) }\ \mathrm{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|}, \qquad \text{proyeksi vektor }\ \mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\,\mathbf b. \] Vektor \(\mathbf a-\mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a\) tegak lurus \(\mathbf b\).
Pemeriksaan ortogonalitas: \((\mathbf a-\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b)\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf b-\mathbf a\cdot\mathbf b=0\). \(\checkmark\)
\(\mathbf a=\langle2,3,4\rangle\), \(\mathbf b=\langle5,-1,2\rangle\): \(\mathbf a\cdot\mathbf b=15\), \(|\mathbf b|^2=30\). \(\mathrm{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{15}{\sqrt{30}}\approx2{,}739\). \(\mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{15}{30}\mathbf b=\langle2{,}5,-0{,}5,1\rangle\). Komponen tegak lurus: \(\mathbf a-\mathrm{proj}=\langle-0{,}5,3{,}5,3\rangle\), dan dot dengan \(\mathbf b\): \(-2{,}5-3{,}5+6=0\) ✓.
Jarak titik \(P(x_1,y_1)\) ke garis \(ax+by+c=0\) adalah \(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Turunan: vektor \(\mathbf n=\langle a,b\rangle\) tegak lurus garis. Ambil sembarang titik \(P_0(x_0,y_0)\) pada garis; jaraknya \(=|\mathrm{comp}_{\mathbf n}\overrightarrow{P_0P}|=\dfrac{|a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)|}{\sqrt{a^2+b^2}}\), dan \(ax_0+by_0=-c\). Contoh: titik \((3,4)\) ke garis \(3x-4y+5=0\): \(\frac{|9-16+5|}{5}=\frac25\).
Karena \(|\cos\theta|\le1\), selalu berlaku \(|\mathbf a\cdot\mathbf b|\le|\mathbf a||\mathbf b|\). Akibatnya ketaksamaan segitiga \(|\mathbf a+\mathbf b|\le|\mathbf a|+|\mathbf b|\): \(|\mathbf a+\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2+2\mathbf a\cdot\mathbf b+|\mathbf b|^2\le|\mathbf a|^2+2|\mathbf a||\mathbf b|+|\mathbf b|^2=(|\mathbf a|+|\mathbf b|)^2\).
5. Kerja (usaha) oleh gaya
Bila gaya konstan \(\mathbf F\) memindahkan benda sepanjang perpindahan \(\mathbf D\), kerja yang dilakukan adalah komponen gaya sepanjang perpindahan dikali jarak: \[ W=\mathbf F\cdot\mathbf D=|\mathbf F||\mathbf D|\cos\theta. \]
Gaya 200 N pada tali yang membentuk \(30^\circ\) dengan horizontal menarik kereta sejauh 100 m. \(W=200\cdot100\cos30^\circ\approx17\,321\) J.
Balok berbobot 50 N pada bidang miring \(25^\circ\). Uraikan berat \(\mathbf W\) menjadi komponen sejajar bidang (menggeser balok) dan tegak lurus bidang (menekan bidang): \[ W_\parallel=50\sin25^\circ\approx21{,}1\ \text{N},\qquad W_\perp=50\cos25^\circ\approx45{,}3\ \text{N}. \] Keduanya dari proyeksi \(\mathbf W\) pada vektor sejajar dan tegak lurus bidang.
6. Kesalahan umum
- Hasil dot adalah skalar, bukan vektor.
- \(\mathbf a\cdot\mathbf b\cdot\mathbf c\) tidak bermakna (skalar dot vektor tak terdefinisi).
- Hasil dot nol tidak berarti salah satu vektor nol; bisa saja tegak lurus.
- Memakai derajat/radian yang tidak cocok saat menghitung \(\theta=\arccos(\cdot)\).
- Mengira \(\mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\mathrm{proj}_{\mathbf a}\mathbf b\): proyeksi tidak simetris.
7. Ringkasan
- \(\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum a_ib_i=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta\).
- \(\mathbf a\perp\mathbf b\iff\mathbf a\cdot\mathbf b=0\); tanda dot menentukan lancip/tumpul.
- \(\mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|^2}\mathbf b\), \(\mathrm{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|}\).
- Kerja \(W=\mathbf F\cdot\mathbf D\).
Berikutnya 12.4 Hasil Kali Silang.