\(f_x\) dan \(f_y\) mengukur laju perubahan ke arah sumbu. Bagaimana bila kita bergerak ke arah lain? Jawabannya adalah turunan berarah, dan jawabannya dihitung dengan sebuah vektor yang sangat penting: gradien.
1. Turunan berarah
Turunan berarah \(f\) di \((a,b)\) pada arah vektor satuan \(\mathbf u=\langle u_1,u_2\rangle\): \[ D_{\mathbf u}f(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+hu_1,\,b+hu_2)-f(a,b)}h. \] Ia adalah laju perubahan \(f\) per satuan jarak bila kita bergerak dari \((a,b)\) ke arah \(\mathbf u\). Dengan \(\mathbf u=\mathbf i\) diperoleh \(f_x\); dengan \(\mathbf u=\mathbf j\) diperoleh \(f_y\).
Bila \(f\) terdiferensialkan, maka \(D_{\mathbf u}f(x,y)=f_x(x,y)\,u_1+f_y(x,y)\,u_2\).
Bukti. Definisikan \(g(h)=f(a+hu_1,b+hu_2)\). Maka \(D_{\mathbf u}f(a,b)=g'(0)\). Aturan rantai (14.5) memberi \(g'(h)=f_x\,u_1+f_y\,u_2\) dihitung di \((a+hu_1,b+hu_2)\); di \(h=0\) diperoleh rumus. \(\blacksquare\)
Bila \(\mathbf u\) membentuk sudut \(\theta\) dengan sumbu \(x\) positif, \(\mathbf u=\langle\cos\theta,\sin\theta\rangle\) dan \(D_{\mathbf u}f=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta\).
2. Vektor gradien
\[ \nabla f=\langle f_x,\,f_y\rangle=f_x\mathbf i+f_y\mathbf j,\qquad\nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle\ \text{(tiga peubah)}. \] Maka \(D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u\).
\(f(x,y)=x^2y^3-4y\), titik \((2,1)\), arah \(\mathbf u=\bigl\langle\frac{\sqrt3}2,\frac12\bigr\rangle\) (sudut \(30^\circ\)). \(f_x=2xy^3=4\), \(f_y=3x^2y^2-4=8\); \(\nabla f(2,1)=\langle4,8\rangle\). \(D_{\mathbf u}f=4\cdot\frac{\sqrt3}2+8\cdot\frac12=2\sqrt3+4\approx7{,}464\).
Arah yang diberikan sebagai vektor \(\mathbf v=\langle3,-4\rangle\) harus dinormalkan: \(\mathbf u=\frac15\langle3,-4\rangle\). Untuk \(f\) di Contoh 1: \(D_{\mathbf u}f=\frac15(4\cdot3+8\cdot(-4))=\frac{12-32}5=-4\). Turun 4 per satuan jarak ke arah itu.
\(f(x,y,z)=x\sin(yz)\) di \((1,3,0)\) ke arah \(\mathbf v=\langle1,2,-1\rangle\). \(\nabla f=\langle\sin yz,\ xz\cos yz,\ xy\cos yz\rangle\), di titik: \(\langle0,0,3\rangle\). \(\mathbf u=\mathbf v/\sqrt6\). \(D_{\mathbf u}f=\dfrac{3(-1)}{\sqrt6}=-\dfrac3{\sqrt6}\approx-1{,}225\).
3. Arah pertumbuhan tercepat
Misalkan \(f\) terdiferensialkan dan \(\nabla f\ne\mathbf0\). Nilai maksimum \(D_{\mathbf u}f\) adalah \(|\nabla f|\), dicapai bila \(\mathbf u\) searah \(\nabla f\). Nilai minimum \(-|\nabla f|\) dicapai pada arah \(-\nabla f\). Pada arah tegak lurus \(\nabla f\), \(D_{\mathbf u}f=0\).
Bukti. \(D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=|\nabla f||\mathbf u|\cos\theta=|\nabla f|\cos\theta\), dengan \(\theta\) sudut antara \(\nabla f\) dan \(\mathbf u\). Nilai maksimum \(\cos\theta=1\) (\(\theta=0\)), minimum \(-1\) (\(\theta=\pi\)), nol di \(\theta=\pi/2\). \(\blacksquare\)
Untuk \(f\) di Contoh 1 di \((2,1)\): laju kenaikan maksimum \(|\langle4,8\rangle|=\sqrt{80}\approx8{,}944\) pada arah \(\frac1{\sqrt5}\langle1,2\rangle\). Laju turun paling cepat \(-8{,}944\) ke arah \(-\frac1{\sqrt5}\langle1,2\rangle\). Perubahan nol pada arah \(\pm\frac1{\sqrt5}\langle2,-1\rangle\) (garis singgung kurva ketinggian).
Tinggi bukit \(z=1000-0{,}005x^2-0{,}01y^2\) (meter). Di \((60,40)\): \(\nabla z=\langle-0{,}01x,-0{,}02y\rangle=\langle-0{,}6,-0{,}8\rangle\), \(|\nabla z|=1\). Tanjakan paling curam: arah \(\langle-0{,}6,-0{,}8\rangle\) dengan kemiringan 1 (sudut \(45^\circ\)). Bila pendaki berjalan ke arah \(\frac1{\sqrt2}\langle1,1\rangle\): \(D_{\mathbf u}z=\dfrac{-0{,}6-0{,}8}{\sqrt2}\approx-0{,}99\), turun hampir 1 meter per meter. Untuk berjalan mendatar ia harus mengikuti arah \(\pm\langle0{,}8,-0{,}6\rangle\).
Suhu \(T=\dfrac{100}{1+x^2+2y^2}\) di \((1,1)\): \(\nabla T=\langle-12{,}5,-25\rangle\). Semut yang ingin menghangat secepat mungkin bergerak ke arah \(\nabla T\propto\langle-1,-2\rangle\) (menuju asal, tempat panas); yang ingin mendingin bergerak ke \(\langle1,2\rangle\). Laju maksimum \(|\nabla T|=\sqrt{12{,}5^2+25^2}\approx27{,}95\) derajat per satuan jarak.
4. Gradien tegak lurus kurva ketinggian
Di setiap titik \(P\) pada kurva ketinggian \(f(x,y)=k\) (atau permukaan ketinggian \(f(x,y,z)=k\)), vektor \(\nabla f(P)\) tegak lurus garis singgung (atau bidang singgung) kurva (permukaan) tersebut di \(P\).
Bukti (kurva). Misalkan \(\mathbf r(t)\) parametrisasi kurva ketinggian. Karena \(f(\mathbf r(t))=k\), aturan rantai memberi \(\nabla f\cdot\mathbf r'(t)=0\), yaitu \(\nabla f\perp\mathbf r'\), vektor singgung. Argumen sama berlaku untuk setiap kurva pada permukaan ketinggian, jadi \(\nabla f\) tegak lurus semua singgung di \(P\). \(\blacksquare\)
Untuk permukaan \(F(x,y,z)=k\) di \(P(x_0,y_0,z_0)\) dengan \(\nabla F(P)\ne\mathbf0\): \[ F_x(P)(x-x_0)+F_y(P)(y-y_0)+F_z(P)(z-z_0)=0, \] dan garis normal \(\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}\).
\(F=\dfrac{x^2}4+y^2+\dfrac{z^2}9=3\) di \((-2,1,-3)\) (periksa: \(1+1+1=3\)). \(\nabla F=\langle\frac x2,2y,\frac{2z}9\rangle=\langle-1,2,-\frac23\rangle\). Bidang singgung: \(-(x+2)+2(y-1)-\frac23(z+3)=0\). Kalikan \(-3\): \(3x-6y+2z=-18\). Garis normal: \(\langle-2-s,\ 1+2s,\ -3-\frac23s\rangle\).
Grafik \(z=f(x,y)\) adalah permukaan ketinggian \(F=f(x,y)-z=0\), dengan \(\nabla F=\langle f_x,f_y,-1\rangle\) normalnya, sesuai 14.4. Untuk \(z=x^2+y^2\) di \((1,1,2)\): \(\langle2,2,-1\rangle\), bidang \(2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0\), sama dengan \(z=2x+2y-2\).
Kontur \(x^2+2y^2=3\) di \((1,1)\): \(\nabla f=\langle2,4\rangle\). Garis singgung kontur: \(2(x-1)+4(y-1)=0\), yaitu \(x+2y=3\).
5. Kesalahan umum
- Memakai vektor arah yang bukan satuan. Normalkan dulu.
- Mengira \(|\nabla f|\) adalah laju pada arah tertentu: itu laju maksimum.
- Menyamakan \(\nabla f\) dengan arah kurva ketinggian: ia tegak lurus.
- Menghitung gradien sebelum mengevaluasinya di titik yang diminta.
6. Ringkasan
- \(D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u\), \(\mathbf u\) satuan.
- Maksimum \(|\nabla f|\) pada arah \(\nabla f\); minimum pada \(-\nabla f\); nol tegak lurus \(\nabla f\).
- \(\nabla f\) tegak lurus kurva/permukaan ketinggian; dipakai untuk bidang singgung dan garis normal.
Berikutnya 14.7 Nilai Maksimum dan Minimum.