Di bidang, sebuah garis ditentukan oleh sebuah titik dan kemiringan. Di ruang, kemiringan diganti dengan vektor arah. Bidang di ruang ditentukan oleh sebuah titik dan sebuah vektor normal. Subbab ini memakai vektor untuk menuliskan garis dan bidang, mencari jarak dan sudut, serta perpotongan.
1. Persamaan garis
Misalkan \(L\) adalah garis yang melalui titik \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) dengan vektor posisi \(\mathbf r_0\), sejajar vektor tak nol \(\mathbf v=\langle a,b,c\rangle\) (vektor arah). Titik \(P(x,y,z)\) berada di \(L\) bila \(\overrightarrow{P_0P}\) sejajar \(\mathbf v\), yaitu \(\overrightarrow{P_0P}=t\mathbf v\) untuk suatu skalar \(t\).
- Vektor: \(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\), \(t\in\mathbb R\).
- Parametrik: \(x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct.\)
- Simetrik (bila \(a,b,c\ne0\)): \(\dfrac{x-x_0}a=\dfrac{y-y_0}b=\dfrac{z-z_0}c\).
Bilangan \(a,b,c\) disebut bilangan arah garis.
Garis melalui \((5,1,3)\) sejajar \(\mathbf i+4\mathbf j-2\mathbf k\): \(x=5+t,\ y=1+4t,\ z=3-2t\). Dua titik lain: \(t=1\Rightarrow(6,5,1)\); \(t=-1\Rightarrow(4,-3,5)\).
\(A(2,4,-3)\), \(B(3,-1,1)\). Arah \(\overrightarrow{AB}=\langle1,-5,4\rangle\). Garis: \(x=2+t,\ y=4-5t,\ z=-3+4t\). Persamaan simetrik: \(x-2=\dfrac{y-4}{-5}=\dfrac{z+3}4\). Titik potong dengan bidang \(xy\) (\(z=0\)): \(t=\frac34\), titik \(\bigl(\tfrac{11}4,\tfrac{1}4,0\bigr)\).
Ruas dari \(\mathbf r_0\) ke \(\mathbf r_1\): \(\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_0+t\mathbf r_1\), \(0\le t\le1\). Titik tengahnya \(t=\frac12\).
Hubungan dua garis
Dua garis di ruang dapat: sejajar (arah sebanding), berpotongan, atau bersilangan (skew: tidak sejajar dan tidak berpotongan, tidak sebidang).
\(L_1:\ x=1+t,\ y=-2+3t,\ z=4-t\) dan \(L_2:\ x=2s,\ y=3+s,\ z=-3+4s\). Arahnya \(\langle1,3,-1\rangle\) dan \(\langle2,1,4\rangle\) tidak sebanding, jadi tidak sejajar. Cari potongan: \(1+t=2s\), \(-2+3t=3+s\), \(4-t=-3+4s\). Dari yang pertama \(t=2s-1\); ke yang kedua: \(-2+6s-3=3+s\Rightarrow s=\frac85\), \(t=\frac{11}5\). Cek yang ketiga: \(4-\frac{11}5=\frac95\), sedangkan \(-3+\frac{32}5=\frac{17}5\). Tidak sama, jadi tidak berpotongan: garis bersilangan.
2. Persamaan bidang
Sebuah bidang ditentukan oleh titik \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) padanya dan vektor normal \(\mathbf n=\langle a,b,c\rangle\) yang tegak lurus bidang. Titik \(P(x,y,z)\) ada di bidang bila \(\overrightarrow{P_0P}\perp\mathbf n\): \[ \mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0. \]
\[ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad ax+by+cz+d=0,\quad d=-(ax_0+by_0+cz_0). \] Vektor \(\langle a,b,c\rangle\) adalah normal bidang \(ax+by+cz+d=0\).
Titik \((2,4,-1)\), normal \(\langle2,3,4\rangle\): \(2(x-2)+3(y-4)+4(z+1)=0\Rightarrow2x+3y+4z=12\). Titik potong sumbu: \(x=6\), \(y=4\), \(z=3\).
\(P(1,3,2)\), \(Q(3,-1,6)\), \(R(5,2,0)\). \(\overrightarrow{PQ}=\langle2,-4,4\rangle\), \(\overrightarrow{PR}=\langle4,-1,-2\rangle\). Normal \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\langle(-4)(-2)-4(-1),\ 4\cdot4-2\cdot(-2),\ 2(-1)-(-4)4\rangle=\langle12,20,14\rangle\), atau disederhanakan \(\langle6,10,7\rangle\). Bidang: \(6x+10y+7z=6+30+14=50\). Cek \(Q\): \(18-10+42=50\) ✓; \(R\): \(30+20+0=50\) ✓.
Bidang yang memuat titik \(A(3,-1,-2)\) dan garis \(x=2t,\ y=1+t,\ z=-4+t\)? Titik pada garis: \(B(0,1,-4)\) (\(t=0\)), arah \(\mathbf v=\langle2,1,1\rangle\). \(\overrightarrow{BA}=\langle3,-2,2\rangle\). Normal \(=\mathbf v\times\overrightarrow{BA}=\langle1\cdot2-1\cdot(-2),\ 1\cdot3-2\cdot2,\ 2(-2)-1\cdot3\rangle=\langle4,-1,-7\rangle\). Bidang: \(4x-(y-1)-7(z+4)=0\Rightarrow4x-y-7z=27\). Cek \(A\): \(12+1+14=27\) ✓.
3. Sudut, kesejajaran, dan perpotongan bidang
Dua bidang sejajar bila normalnya sejajar. Bila tidak sejajar, mereka berpotongan pada sebuah garis, dan sudut antara bidang adalah sudut antara normalnya (yang lancip): \[ \cos\theta=\frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{|\mathbf n_1||\mathbf n_2|}. \]
Bidang \(x+y+z=1\) dan \(x-2y+3z=1\). Normal \(\langle1,1,1\rangle\) dan \(\langle1,-2,3\rangle\); dot \(=2\); \(\cos\theta=\frac{2}{\sqrt3\sqrt{14}}\), \(\theta\approx72{,}0^\circ\). Arah garis potong \(=\mathbf n_1\times\mathbf n_2=\langle1\cdot3-1\cdot(-2),\ 1\cdot1-1\cdot3,\ 1\cdot(-2)-1\cdot1\rangle=\langle5,-2,-3\rangle\). Titik pada garis: pilih \(z=0\): \(x+y=1\), \(x-2y=1\Rightarrow y=0,x=1\). Garis: \(x=1+5t,\ y=-2t,\ z=-3t\).
Untuk \(x+y+z=1\) dan \(x+2y+3z=1\): \(\cos\theta=\frac{6}{\sqrt3\sqrt{14}}\), \(\theta\approx22{,}2^\circ\). Arah garis potong \(\langle1,1,1\rangle\times\langle1,2,3\rangle=\langle1,-2,1\rangle\); titik \((1,0,0)\) pada keduanya: \(x=1+t,\ y=-2t,\ z=t\).
4. Garis dan bidang
Garis \(x=1+2t,\ y=-t,\ z=3+t\) dan bidang \(x+2y-z=4\). Substitusi: \((1+2t)+2(-t)-(3+t)=4\Rightarrow-2-t=4\Rightarrow t=-6\). Titik tembus \((-11,6,-3)\). Bila koefisien \(t\) hilang dan sisi konstan tidak cocok, garis sejajar bidang (tidak berpotongan); bila cocok, garis terletak pada bidang.
5. Jarak
Jarak titik \(P_1(x_1,y_1,z_1)\) ke bidang \(ax+by+cz+d=0\): \[ D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]
Penurunan. Ambil \(P_0\) pada bidang. Jarak \(=|\mathrm{comp}_{\mathbf n}\overrightarrow{P_0P_1}|=\dfrac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_0P_1}|}{|\mathbf n|}\), dengan \(\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_0P_1}=ax_1+by_1+cz_1-(ax_0+by_0+cz_0)=ax_1+by_1+cz_1+d\). \(\blacksquare\)
Jarak \((4,-2,3)\) ke bidang \(2x-y+2z=5\): \(\dfrac{|8+2+6-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{11}3\approx3{,}67\). Jarak antara bidang sejajar \(2x-y+2z=5\) dan \(2x-y+2z=-4\): ambil titik \((0,0,-2)\) pada yang kedua (cek: \(-4\)) dan hitung jaraknya ke yang pertama: \(\frac{|-4-5|}{3}=3\).
Garis melalui \(P_0\) dengan arah \(\mathbf v\); jarak dari \(P\): \(D=\dfrac{|\overrightarrow{P_0P}\times\mathbf v|}{|\mathbf v|}\) (tinggi jajargenjang).
Untuk garis dengan titik \(P_1,P_2\) dan arah \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\): \(D=\dfrac{|(\overrightarrow{P_1P_2})\cdot(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)|}{|\mathbf v_1\times\mathbf v_2|}\) (tinggi paralelepipedum).
\(P_1(1,-2,4)\), \(\mathbf v_1=\langle1,3,-1\rangle\); \(P_2(0,3,-3)\), \(\mathbf v_2=\langle2,1,4\rangle\). \(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=\langle3\cdot4-(-1)\cdot1,\ (-1)\cdot2-1\cdot4,\ 1\cdot1-3\cdot2\rangle=\langle13,-6,-5\rangle\), \(|\cdot|=\sqrt{230}\). \(\overrightarrow{P_1P_2}=\langle-1,5,-7\rangle\); dot \(=-13-30+35=-8\). Jarak \(=\dfrac8{\sqrt{230}}\approx0{,}528\).
6. Kesalahan umum
- Memakai titik sebagai vektor arah atau sebaliknya.
- Menganggap garis di ruang punya persamaan tunggal \(ax+by+cz=d\) (itu bidang; garis memerlukan dua persamaan bidang atau bentuk parametrik).
- Menyimpulkan garis berpotongan hanya karena tidak sejajar (bisa bersilangan).
- Lupa nilai mutlak pada rumus jarak.
7. Ringkasan
- Garis: \(\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v\); bidang: \(\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0\).
- Normal bidang dari tiga titik: \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\); garis potong dua bidang: arah \(\mathbf n_1\times\mathbf n_2\).
- Jarak titik–bidang \(\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\); jarak garis bersilangan lewat tripel skalar.
Berikutnya 12.6: permukaan yang lebih rumit dari bidang dan bola.