Teorema Dasar Kalkulus berkata \(\int_a^bF'(x)\,dx=F(b)-F(a)\): integral turunan hanya bergantung pada nilai di ujung-ujung. Untuk integral garis ada analog yang sama indahnya, berlaku untuk medan gradien.
1. Teorema dasar untuk integral garis
Misalkan \(C\) kurva mulus yang diberikan oleh \(\mathbf r(t)\), \(a\le t\le b\), dan \(f\) fungsi terdiferensialkan dengan \(\nabla f\) kontinu pada \(C\). Maka \[ \int_C\nabla f\cdot d\mathbf r=f\bigl(\mathbf r(b)\bigr)-f\bigl(\mathbf r(a)\bigr). \]
Bukti. Dengan aturan rantai (14.5), \(\dfrac d{dt}f(\mathbf r(t))=\nabla f(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\). Maka \(\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r=\int_a^b\dfrac d{dt}f(\mathbf r(t))\,dt=f(\mathbf r(b))-f(\mathbf r(a))\) oleh Teorema Dasar Kalkulus satu peubah. \(\blacksquare\)
\(\mathbf F=\langle2xy+\cos y,\ x^2-x\sin y\rangle=\nabla f\) dengan \(f=x^2y+x\cos y\). Untuk kurva \(C\) apa pun dari \((0,0)\) ke \((1,\pi)\): \(\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=f(1,\pi)-f(0,0)=\pi+\cos\pi-0=\pi-1\approx2{,}142\).
Medan gravitasi \(\mathbf F=-\dfrac k{|\mathbf r|^3}\mathbf r=\nabla\dfrac k{|\mathbf r|}\). Usaha yang dilakukan gravitasi untuk memindahkan benda dari jarak 2 ke jarak 1 dari pusat, lewat lintasan apa pun yang tidak melewati pusat: \(\dfrac k1-\dfrac k2=\dfrac k2\). Hanya jarak awal dan akhir yang berpengaruh.
2. Bebas lintasan dan medan konservatif
\(\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\) bebas lintasan di \(D\) bila untuk dua titik \(A,B\) di \(D\), integralnya sama untuk semua lintasan \(C\) dari \(A\) ke \(B\) di \(D\).
Misalkan \(\mathbf F\) kontinu pada daerah terbuka dan terhubung \(D\). Tiga pernyataan berikut setara:
- \(\mathbf F\) konservatif: \(\mathbf F=\nabla f\) untuk suatu \(f\).
- \(\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\) bebas lintasan di \(D\).
- \(\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=0\) untuk setiap kurva tertutup \(C\) di \(D\).
Gagasan bukti. (1)\(\Rightarrow\)(2): teorema dasar di atas. (2)\(\Leftrightarrow\)(3): kurva tertutup \(C\) adalah lintasan \(C_1\) dari \(A\) ke \(B\) diikuti kebalikan lintasan \(C_2\) dari \(A\) ke \(B\); \(\oint_C=\int_{C_1}-\int_{C_2}\), jadi nol tepat bila \(\int_{C_1}=\int_{C_2}\). (2)\(\Rightarrow\)(1): tetapkan titik \(A\) dan definisikan \(f(x,y)=\int_A^{(x,y)}\mathbf F\cdot d\mathbf r\) (terdefinisi karena bebas lintasan); menghitung \(f_x\) dengan lintasan horizontal terakhir menghasilkan \(f_x=P\), serupa \(f_y=Q\).
\(\mathbf F=\langle-y,x\rangle\) (16.2, Contoh 4 dan 6): sirkulasi di lingkaran satuan \(=2\pi\ne0\), jadi tidak bebas lintasan dan bukan konservatif.
3. Menguji apakah medan konservatif
Jika \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) konservatif dan \(P,Q\) mempunyai turunan parsial pertama kontinu pada \(D\), maka \[ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{di seluruh }D. \] Di ruang, \(\mathbf F=\langle P,Q,R\rangle\): \(P_y=Q_x\), \(P_z=R_x\), \(Q_z=R_y\) (yaitu \(\operatorname{curl}\mathbf F=\mathbf0\), 16.5).
Bukti: bila \(P=f_x\), \(Q=f_y\), maka \(P_y=f_{xy}\), \(Q_x=f_{yx}\), sama oleh Clairaut.
Jika \(P_y=Q_x\) pada daerah \(D\) yang terbuka dan sederhana terhubung (terhubung dan tanpa "lubang"; setiap kurva tertutup dapat dikecilkan menjadi satu titik di dalam \(D\)), maka \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) konservatif. Hal serupa berlaku di ruang.
- \(\mathbf F=\langle xy,x^2\rangle\): \(P_y=x\), \(Q_x=2x\): tidak sama, tidak konservatif.
- \(\mathbf F=\langle3+2xy,\ x^2-3y^2\rangle\): \(P_y=2x=Q_x\) di seluruh \(\mathbb R^2\) (sederhana terhubung): konservatif.
- \(\mathbf F=\langle ye^x+\sin y,\ e^x+x\cos y\rangle\): \(P_y=e^x+\cos y=Q_x\): konservatif.
\(\mathbf F=\Bigl\langle\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac x{x^2+y^2}\Bigr\rangle\) pada \(D=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\). \(P_y=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}=Q_x\), tetapi sirkulasi di lingkaran satuan: \(\mathbf F\cdot\mathbf r'=\sin^2t+\cos^2t=1\), \(\oint=2\pi\ne0\). \(D\) tidak sederhana terhubung (lubang di titik asal), maka syarat cukup tidak berlaku: \(\mathbf F\) tidak konservatif pada \(D\). (Ia adalah \(\nabla\theta\), gradien sudut kutub, yang bukan fungsi bernilai tunggal di \(D\).)
4. Mencari fungsi potensial
\(\mathbf F=\langle3+2xy,\ x^2-3y^2\rangle\). Telah diuji konservatif. Cari \(f\) dengan \(f_x=3+2xy\), \(f_y=x^2-3y^2\). Integrasikan \(f_x\) terhadap \(x\): \(f=3x+x^2y+g(y)\). Turunkan terhadap \(y\): \(f_y=x^2+g'(y)\), samakan dengan \(x^2-3y^2\): \(g'=-3y^2\), \(g=-y^3\). \(f=3x+x^2y-y^3+C\). Usaha dari \((1,2)\) ke \((3,1)\): \(f(3,1)-f(1,2)=(9+9-1)-(3+2-8)=17-(-3)=20\).
\(\mathbf F=\langle y^2,\ 2xy+e^{3z},\ 3ye^{3z}\rangle\). Uji: \(P_y=2y=Q_x\), \(P_z=0=R_x\), \(Q_z=3e^{3z}=R_y\): konservatif. \(f_x=y^2\Rightarrow f=xy^2+g(y,z)\). \(f_y=2xy+g_y=2xy+e^{3z}\Rightarrow g_y=e^{3z}\Rightarrow g=ye^{3z}+h(z)\). \(f_z=3ye^{3z}+h'(z)=3ye^{3z}\Rightarrow h'=0\). \(f=xy^2+ye^{3z}\). Usaha dari \((0,0,0)\) ke \((1,2,0)\): \(f(1,2,0)-f(0,0,0)=(4+2)-0=6\).
\(\mathbf F=\langle2xy,x^2\rangle=\nabla(x^2y)\). Usaha sepanjang lintasan apa pun dari \((1,1)\) ke \((2,3)\): \(x^2y\big|=12-1=11\), tanpa parametrisasi. Bila \(C\) adalah kurva tertutup, usahanya 0.
5. Kekekalan energi
Misalkan medan gaya \(\mathbf F=\nabla f\) menggerakkan partikel bermassa \(m\) sepanjang \(\mathbf r(t)\). Hukum Newton \(\mathbf F=m\mathbf r''\), kecepatan \(\mathbf v=\mathbf r'\). Usaha \[ W=\int_a^b\mathbf F\cdot\mathbf r'\,dt=m\int_a^b\mathbf r''\cdot\mathbf r'\,dt=\frac m2\bigl[|\mathbf v(b)|^2-|\mathbf v(a)|^2\bigr]=K(B)-K(A), \] dengan \(K=\frac12m|\mathbf v|^2\) energi kinetik (karena \(\frac d{dt}|\mathbf v|^2=2\mathbf v\cdot\mathbf v'\)). Teorema dasar memberi \(W=f(B)-f(A)\). Definisikan energi potensial \(U=-f\); maka \(K(A)+U(A)=K(B)+U(B)\): energi mekanik kekal. Inilah mengapa medan konservatif memakai nama itu.
Gravitasi dekat permukaan: \(\mathbf F=\langle0,0,-mg\rangle=\nabla(-mgz)\), \(U=mgz\). Benda dilepas dari \(z=h\) (kecepatan nol): di \(z=0\), \(\frac12mv^2=mgh\Rightarrow v=\sqrt{2gh}\). Dengan \(h=5\) m, \(g=9{,}8\): \(v=\sqrt{98}\approx9{,}9\) m/s, tanpa memperhatikan lintasan (jatuh bebas, atau meluncur pada bidang licin).
6. Kesalahan umum
- Memakai \(f(B)-f(A)\) pada medan yang tidak konservatif.
- Menyimpulkan konservatif hanya dari \(P_y=Q_x\) tanpa memeriksa daerahnya sederhana terhubung (Contoh 4).
- Menghilangkan fungsi \(g(y)\) pada langkah mencari potensial.
- Menyamakan \(\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=0\) untuk satu kurva dengan konservatif; syaratnya berlaku untuk semua kurva tertutup.
7. Ringkasan
- \(\int_C\nabla f\cdot d\mathbf r=f(B)-f(A)\).
- Konservatif \(\Leftrightarrow\) bebas lintasan \(\Leftrightarrow\) sirkulasi nol pada kurva tertutup.
- Uji: \(P_y=Q_x\) (dan seterusnya); cukup bila daerahnya sederhana terhubung.
- Potensial dicari dengan integrasi berurutan; energi mekanik kekal.
Berikutnya 16.4 Teorema Green.