Inilah tujuan fungsi vektor: menggambarkan gerak. Bila \(\mathbf r(t)\) adalah posisi partikel pada waktu \(t\), maka turunan pertama dan kedua adalah kecepatan dan percepatan.
1. Kecepatan, laju, percepatan
Untuk partikel dengan vektor posisi \(\mathbf r(t)\): \[ \mathbf v(t)=\mathbf r'(t)\ \ (\text{kecepatan}),\qquad|\mathbf v(t)|=\frac{ds}{dt}\ \ (\text{laju}),\qquad\mathbf a(t)=\mathbf v'(t)=\mathbf r''(t)\ \ (\text{percepatan}). \]
Kecepatan adalah vektor singgung ke lintasan, searah gerak; laju adalah skalar \(\ge0\). Hukum II Newton: gaya \(\mathbf F=m\mathbf a\).
\(\mathbf r(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle\): \(\mathbf v=\langle1,2t,3t^2\rangle\), \(\mathbf a=\langle0,2,6t\rangle\), laju \(|\mathbf v|=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\). Di \(t=1\): \(\mathbf v=\langle1,2,3\rangle\), laju \(\sqrt{14}\approx3{,}742\); \(\mathbf a=\langle0,2,6\rangle\), \(|\mathbf a|=\sqrt{40}\approx6{,}325\).
\(\mathbf r(t)=\langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t\rangle\). \(\mathbf v=\omega R\langle-\sin\omega t,\cos\omega t\rangle\), laju \(\omega R\) konstan. \(\mathbf a=-\omega^2\mathbf r\): percepatan menuju pusat (sentripetal) dengan besar \(\omega^2R=v^2/R\). Mobil melaju \(20\) m/s pada tikungan berjari-jari \(50\) m: \(a=400/50=8\) m/s². Meskipun lajunya konstan, percepatan tidak nol karena arah kecepatan berubah.
Percepatan \(\mathbf a(t)=\langle0,2,6t\rangle\), \(\mathbf v(0)=\langle1,0,0\rangle\), \(\mathbf r(0)=\langle0,1,2\rangle\) (13.2, Contoh 9) memberi \(\mathbf v=\langle1,2t,3t^2\rangle\) dan \(\mathbf r=\langle t,\ t^2+1,\ t^3+2\rangle\). Setelah \(t=2\): posisi \((2,5,10)\), kecepatan \(\langle1,4,12\rangle\), laju \(\sqrt{161}\approx12{,}69\).
\(\mathbf r(t)=\langle t^2,\ t^2-4t,\ 0\rangle\), \(\mathbf v=\langle2t,\ 2t-4,\ 0\rangle\). \(|\mathbf v|^2=4t^2+(2t-4)^2=8t^2-16t+16\). Minimum di \(t=1\): \(|\mathbf v|^2=8\), laju \(2\sqrt2\). Pada saat itu \(\mathbf v=\langle2,-2,0\rangle\).
2. Gerak proyektil
Benda dilempar dari titik asal dengan laju awal \(v_0\) dan sudut elevasi \(\alpha\). Satu-satunya percepatan adalah gravitasi: \(\mathbf a=\langle0,-g\rangle\) (\(g\approx9{,}8\) m/s²). Integrasi dua kali: \[ \mathbf v(t)=\langle v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha-gt\rangle,\qquad \mathbf r(t)=\bigl\langle(v_0\cos\alpha)\,t,\ (v_0\sin\alpha)\,t-\tfrac12gt^2\bigr\rangle. \] Gerak horizontal beraturan, gerak vertikal berubah beraturan: keduanya bebas satu sama lain.
- Waktu terbang: \(T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}g\).
- Jangkauan: \(R=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}g\) (maksimum di \(\alpha=45^\circ\)).
- Tinggi maksimum: \(H=\dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}\).
\(v_0=30\) m/s, \(\alpha=40^\circ\). Komponen awal: \(v_0\cos\alpha\approx22{,}98\), \(v_0\sin\alpha\approx19{,}28\). Waktu terbang \(T=2(19{,}28)/9{,}8\approx3{,}94\) s; jangkauan \(R=900\sin80^\circ/9{,}8\approx90{,}4\) m; tinggi maksimum \(H=19{,}28^2/19{,}6\approx18{,}97\) m. Laju saat mendarat sama dengan laju awal (30 m/s) karena energi kekal.
Dengan \(v_0=30\) m/s, sudut \(\alpha\) dan \(90^\circ-\alpha\) memberi jangkauan yang sama (\(\sin2\alpha=\sin(180^\circ-2\alpha)\)). Misalnya \(\alpha=20^\circ\) dan \(70^\circ\) keduanya memberi \(900\sin40^\circ/9{,}8\approx59{,}0\) m, tetapi lintasan \(70^\circ\) jauh lebih tinggi dan lebih lama.
Benda dilempar horizontal dari tebing tinggi \(45\) m dengan laju \(12\) m/s. Posisi: \(\mathbf r=\langle12t,\ 45-4{,}9t^2\rangle\). Menyentuh tanah ketika \(45=4{,}9t^2\Rightarrow t=3{,}03\) s, jatuh di \(x\approx36{,}4\) m. Kecepatan saat mendarat: \(\langle12,-29{,}7\rangle\), laju \(\approx32{,}0\) m/s.
3. Komponen tangensial dan normal percepatan
Dari \(\mathbf v=v\mathbf T\) (dengan \(v=|\mathbf v|\)), turunkan: \(\mathbf a=v'\mathbf T+v\mathbf T'\). Karena \(\mathbf T'=\kappa v\mathbf N\) (dari definisi \(\kappa=|\mathbf T'|/v\)), \[ \boxed{\ \mathbf a=a_T\,\mathbf T+a_N\,\mathbf N,\qquad a_T=v'=\frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{|\mathbf r'|},\quad a_N=\kappa v^2=\frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|}\ } \] \(a_T\) mengubah laju (searah gerak); \(a_N\) membelokkan arah (menuju sisi cekung). Selalu \(a_T^2+a_N^2=|\mathbf a|^2\). Percepatan berada di bidang oskulasi, tidak punya komponen \(\mathbf B\).
Untuk \(\langle\cos t,\sin t,t\rangle\): \(\mathbf r'\cdot\mathbf r''=\sin t\cos t-\cos t\sin t+0=0\), jadi \(a_T=0\) (laju konstan \(\sqrt2\)). \(a_N=\sqrt2/\sqrt2=1=\kappa v^2=\tfrac12\cdot2\). Percepatan \(=\langle-\cos t,-\sin t,0\rangle=\mathbf N\), menuju sumbu silinder.
\(\mathbf r'=\langle1,2,3\rangle\), \(\mathbf r''=\langle0,2,6\rangle\): \(\mathbf r'\cdot\mathbf r''=0+4+18=22\); \(a_T=22/\sqrt{14}\approx5{,}880\). \(|\mathbf r'\times\mathbf r''|=\sqrt{76}\), \(a_N=\sqrt{76}/\sqrt{14}\approx2{,}330\). Pemeriksaan: \(a_T^2+a_N^2\approx34{,}57+5{,}43=40=|\mathbf a|^2\).
Di puncak lintasan, \(\mathbf v=\langle v_0\cos\alpha,0\rangle\) horizontal dan \(\mathbf a=\langle0,-g\rangle\) vertikal, sehingga \(a_T=0\) dan \(a_N=g\). Kelengkungan di puncak: \(\kappa=a_N/v^2=g/(v_0\cos\alpha)^2\). Untuk Contoh 5: \(9{,}8/22{,}98^2\approx0{,}01856\ \text{m}^{-1}\); jari-jari kelengkungan \(\approx53{,}9\) m.
4. Hukum-hukum Kepler (gambaran)
Kepler merumuskan tiga hukum gerak planet; Newton menurunkannya dari hukum gravitasi \(\mathbf F=-\dfrac{GMm}{r^3}\mathbf r\). Intinya: (1) planet bergerak pada elips dengan Matahari di salah satu fokus; (2) vektor posisi dari Matahari menyapu luas sama dalam waktu sama; (3) kuadrat periode sebanding pangkat tiga setengah sumbu panjang.
Hukum kedua adalah akibat langsung kalkulus vektor. Gaya sentral \(\mathbf F\parallel\mathbf r\) memberi \(\mathbf r\times\mathbf a=\mathbf 0\). Karena \(\frac d{dt}(\mathbf r\times\mathbf v)=\mathbf v\times\mathbf v+\mathbf r\times\mathbf a=\mathbf0\), vektor momentum sudut per massa, \(\mathbf h=\mathbf r\times\mathbf v\), konstan. Maka \(\mathbf r\) dan \(\mathbf v\) selalu terletak pada satu bidang tetap (gerak planar), dan luas yang disapu per waktu, \(\frac12|\mathbf r\times\mathbf v|=\frac12|\mathbf h|\), konstan.
Bila periode \(T\) dan setengah sumbu panjang \(a\) maka \(T^2/a^3\) sama untuk semua benda yang mengorbit pusat yang sama. Satelit yang jari-jari orbitnya dua kali orbit satelit lain mempunyai periode \(2^{3/2}\approx2{,}83\) kali lebih besar.
5. Kesalahan umum
- Mengira laju konstan berarti percepatan nol. Pada gerak melingkar \(a_N\ne0\).
- Menyamakan \(|\mathbf a|\) dengan \(dv/dt\): \(dv/dt=a_T\), bukan \(|\mathbf a|\).
- Pada proyektil, menaruh \(g\) di komponen \(x\) atau lupa tanda negatif pada \(\tfrac12gt^2\).
- Memakai sudut dalam derajat pada kalkulator berbasis radian, atau sebaliknya.
6. Ringkasan
- \(\mathbf v=\mathbf r'\), laju \(=|\mathbf v|\), \(\mathbf a=\mathbf r''\); integrasi dari percepatan memakai kondisi awal.
- Proyektil: \(\mathbf r=\langle v_0\cos\alpha\,t,\ v_0\sin\alpha\,t-\tfrac12gt^2\rangle\); \(T,R,H\) seperti di atas.
- \(\mathbf a=a_T\mathbf T+a_N\mathbf N\) dengan \(a_T=v'\), \(a_N=\kappa v^2\).
- Gaya sentral \(\Rightarrow\mathbf r\times\mathbf v\) konstan (hukum luas Kepler).
Bab 13 selesai. Bab berikutnya, 14.1, memperluas kalkulus ke fungsi dua peubah atau lebih.