Pada 11.10 kita melihat bahwa deret Taylor bisa mewakili fungsi secara tepat. Dalam praktik kita hampir selalu memotong deret setelah beberapa suku dan memakai polinomial Taylor sebagai hampiran. Pertanyaan pentingnya: seberapa besar galatnya, dan berapa suku yang cukup? Subbab ini menjawabnya, lalu memakainya pada hampiran nilai, limit, dan masalah fisika.
1. Polinomial Taylor
Polinomial Taylor derajat \(n\) dari \(f\) di \(a\) adalah jumlah parsial deret Taylor: \[ T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \] Sisa (galat) hampiran: \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\).
- \(T_1(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\): hampiran linear (garis singgung).
- \(T_2(x)=T_1(x)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2\): hampiran kuadrat, memperhitungkan kelengkungan.
\(T_n\) adalah polinomial berderajat \(\le n\) yang nilai dan turunan \(1,\ldots,n\)-nya sama dengan \(f\) di \(a\). Karena itu ia sangat akurat dekat \(a\) dan makin kurang akurat bila menjauh.
\(f'=\frac1x,\ f''=-\frac1{x^2},\ f'''=\frac2{x^3},\ f^{(4)}=-\frac6{x^4}\). Di \(x=1\): \(f=0,\ 1,\ -1,\ 2,\ -6\). Maka \[ T_3(x)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3. \] (Sama dengan deret \(\ln(1+u)\) dengan \(u=x-1\).) Nilai \(T_3(1{,}2)=0{,}2-0{,}02+0{,}00267=0{,}18267\), sedangkan \(\ln1{,}2=0{,}18232\).
\(f=\frac12,\ f'=-\frac{\sqrt3}2,\ f''=-\frac12,\ f'''=\frac{\sqrt3}2\). Maka \[ T_3(x)=\frac12-\frac{\sqrt3}2\Bigl(x-\frac\pi3\Bigr)-\frac14\Bigl(x-\frac\pi3\Bigr)^2+\frac{\sqrt3}{12}\Bigl(x-\frac\pi3\Bigr)^3. \]
2. Seberapa baik hampiran? Sisa Taylor
Jika \(f\) mempunyai turunan ke-\((n+1)\) pada interval yang memuat \(a\) dan \(x\), maka ada bilangan \(z\) antara \(a\) dan \(x\) sehingga \[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]
Jika \(|f^{(n+1)}(t)|\le M\) untuk semua \(t\) antara \(a\) dan \(x\), maka \[ |R_n(x)|\le\frac M{(n+1)!}|x-a|^{n+1}. \]
Gagasan bukti (untuk \(n=1\), arah \(x\gt a\)): \(R_1(a)=R_1'(a)=0\) dan \(R_1''=f''\). Bila \(|f''|\le M\), maka \(|R_1'(t)|\le M(t-a)\) dengan integrasi dari \(a\) dan kemudian \(|R_1(x)|\le\frac M2(x-a)^2\). Pengulangan argumen ini sebanyak \(n+1\) kali menghasilkan ketaksamaan umum.
Bila \(R_n(x)\to0\) untuk \(n\to\infty\), maka deret Taylor konvergen ke \(f(x)\). Pembuktian pada 11.10 untuk \(e^x,\sin x,\cos x\) memakai ketaksamaan ini dan fakta \(\frac{|x|^n}{n!}\to0\).
3. Menghampiri nilai
Pakai \(T_5(x)=x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120}\) di \(a=0\): \[ T_5(0{,}5)=0{,}5-0{,}0208333+0{,}00026042=0{,}479427. \] Galat: turunan ke-6 dari \(\sin\) dibatasi \(M=1\), jadi \(|R_5(0{,}5)|\le\dfrac{0{,}5^6}{6!}=\dfrac{1}{46\,080}\approx2{,}2\times10^{-5}\). Nilai sebenarnya \(0{,}4794255\); galat nyata \(1{,}5\times10^{-6}\) (jauh di bawah batas; batas Taylor adalah jaminan, bukan perkiraan galat).
Untuk \(f=e^x\) di 0 dan \(x=1\): turunan semuanya \(e^t\le e\lt3\) pada \([0,1]\). Jadi \(|R_n(1)|\le\dfrac3{(n+1)!}\). Syarat \(\lt10^{-5}\): \((n+1)!\gt3\times10^5\). Karena \(9!=362\,880\), cukup \(n=8\). Maka \[ e\approx\sum_{k=0}^{8}\frac1{k!}=2{,}718279,\qquad\text{galat sebenarnya }3{,}1\times10^{-6}. \]
\(\sqrt[3]{8{,}2}=2\sqrt[3]{1+0{,}025}\). Binomial dengan \(k=\frac13\): \((1+x)^{1/3}\approx1+\dfrac x3-\dfrac{x^2}9\). Untuk \(x=0{,}025\): \(1+0{,}008333-0{,}0000694=1{,}008264\), sehingga \(\sqrt[3]{8{,}2}\approx2{,}016528\). Nilai sebenarnya \(2{,}016530\). Galat \(\approx2\times10^{-6}\), sesuai suku berikutnya \(\frac{5x^3}{81}\cdot2\approx1{,}9\times10^{-6}\).
\(\ln(1+x)\) pada \(x=0{,}5\) (di dalam selang \((-1,1]\)): deret berganti tanda \(0{,}5-0{,}125+0{,}0417-0{,}0156+\cdots\). \(T_3=0{,}4167\), \(T_5=0{,}4073\), \(T_{10}=0{,}40543\) vs \(\ln1{,}5=0{,}405465\). Karena berganti tanda, galat \(\le\) suku berikutnya.
\(T_4(1)=1-\frac12+\frac1{24}=0{,}541667\). Karena suku \(x^5\) dari \(\cos x\) bernilai nol, \(T_4=T_5\), sehingga kita boleh memakai ketaksamaan Taylor dengan \(n=5\) dan turunan ke-6 (\(f^{(6)}=-\cos x\), \(M=1\)): \(|R_5(1)|\le\dfrac1{6!}=0{,}001389\). Galat nyata \(\cos1-T_4(1)=-0{,}001364\), tepat di bawah batas.
4. Apa yang menentukan keakuratan?
- Jarak \(|x-a|\): galat tumbuh seperti \(|x-a|^{n+1}\); makin dekat pusat makin baik.
- Derajat \(n\): biasanya makin besar makin baik, asalkan \(x\) di dalam selang kekonvergenan.
- Pusat \(a\): pilih \(a\) dekat nilai yang diinginkan dan yang turunannya mudah dihitung (mis. \(a=8\) untuk \(\sqrt[3]{8{,}2}\)).
5. Limit yang rumit
\(\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cdots\), jadi pembilangnya \(\dfrac{x^4}{24}-\cdots\). Limit \(=\dfrac1{24}\).
\(x\cos x=x-\frac{x^3}2+\frac{x^5}{24}-\cdots\) dan \(\sin x=x-\frac{x^3}6+\cdots\). Selisih \(=\bigl(-\frac16+\frac12\bigr)x^3+\cdots=\dfrac{x^3}3+\cdots\). Limit \(=\dfrac13\).
6. Penerapan dalam fisika
Energi total partikel bermassa \(m\) dengan kecepatan \(v\): \(E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\). Misalkan \(u=v^2/c^2\). Deret binomial \((1-u)^{-1/2}=1+\tfrac12u+\tfrac38u^2+\cdots\) memberi \[ E=mc^2+\tfrac12mv^2+\tfrac38\frac{mv^4}{c^2}+\cdots \] Suku pertama adalah energi diam, suku kedua adalah energi kinetik klasik. Untuk \(v=0{,}1c\), energi kinetik sebenarnya \((\gamma-1)mc^2=0{,}005038\,mc^2\), sedangkan hampiran klasik \(\frac12mv^2=0{,}005\,mc^2\): selisih kurang dari 1%.
Persamaan gerak bandul: \(\theta''=-\frac gL\sin\theta\). Karena \(\sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}6+\cdots\), untuk simpangan kecil kita ganti \(\sin\theta\approx\theta\), sehingga \(\theta''=-\frac gL\theta\) (osilator harmonik, lihat 17.3). Galat hampiran \(\lt\frac{\theta^3}6\): pada \(\theta=0{,}2\) rad (sekitar \(11^\circ\)) hanya \(0{,}0013\), kurang dari 1% dari \(\theta\).
Gelombang optik memakai \(\int_0^x\frac{\sin t}t\,dt\) (fungsi sinus integral) yang tidak punya antiturunan elementer. Deret: \(\frac{\sin t}t=1-\frac{t^2}6+\frac{t^4}{120}-\cdots\), jadi \(\int_0^x\frac{\sin t}tdt=x-\frac{x^3}{18}+\frac{x^5}{600}-\cdots\), berlaku untuk semua \(x\).
7. Kesalahan umum
- Memakai polinomial Taylor jauh dari pusat atau di luar selang kekonvergenan.
- Menyamakan batas Taylor dengan galat sebenarnya (batas biasanya lebih longgar).
- Lupa memakai turunan ke-\((n+1)\), bukan ke-\(n\), pada sisa.
- Memakai derajat \(n\) tetapi menghitung \(M\) dari turunan yang salah.
8. Ringkasan
- \(T_n\) adalah polinomial yang cocok dengan \(f\) beserta \(n\) turunan pertamanya di \(a\); \(R_n=f-T_n\).
- \(|R_n(x)|\le\dfrac M{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\) bila \(|f^{(n+1)}|\le M\).
- Dipakai untuk menghampiri nilai, menentukan banyak suku, menghitung limit, dan menyederhanakan model fisika.
Dengan ini Bab 11 selesai. Bab 12 membuka materi tiga dimensi.