Integral garis menjumlahkan sepanjang kurva. Integral permukaan menjumlahkan di atas permukaan. Sama seperti sebelumnya ada dua jenis: integral fungsi skalar (massa, muatan) dan integral medan vektor (fluks).
1. Integral permukaan fungsi skalar
Bagi permukaan \(S\) menjadi potongan kecil \(S_{ij}\) berluas \(\Delta S_{ij}\), pilih titik contoh \(P_{ij}^*\), dan jumlahkan \(f(P_{ij}^*)\Delta S_{ij}\).
\[ \iint_Sf(x,y,z)\,dS=\lim\sum f(P_{ij}^*)\Delta S_{ij}=\iint_Df\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\,|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,dA. \] Untuk grafik \(z=g(x,y)\) di atas \(D\): \[ \iint_Sf\,dS=\iint_Df\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA. \] Dengan \(f\equiv1\): \(\iint_SdS=A(S)\) (luas permukaan, 16.6).
Bola jari-jari \(a\): \(dS=a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\), \(y=a\sin\phi\sin\theta\). \(\iint y^2\,dS=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi a^2\sin^2\phi\sin^2\theta\cdot a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta=a^4\cdot\tfrac43\cdot\pi=\tfrac{4\pi a^4}3\). Karena simetri, \(\iint x^2dS=\iint y^2dS=\iint z^2dS\); jumlahnya \(\iint a^2dS=4\pi a^4\), jadi masing-masing \(\frac{4\pi a^4}3\). Cocok.
\(\iint_Sz\,dS\), \(S\) belahan atas bola jari-jari 2: \(z=2\cos\phi\), \(dS=4\sin\phi\,d\phi\,d\theta\). \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}8\cos\phi\sin\phi\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot8\cdot\tfrac12=8\pi\approx25{,}13\). Bila \(S\) kulit tipis dengan kerapatan \(\sigma=z\), maka 8\(\pi\) adalah massanya.
\(\iint_Sx\,dS\), \(S\) bagian bidang \(x+y+z=1\) di oktan pertama. \(z=1-x-y\): \(\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\). \(D\): segitiga \(x,y\ge0\), \(x+y\le1\). \(\sqrt3\iint_Dx\,dA=\sqrt3\int_0^1\int_0^{1-x}x\,dy\,dx=\sqrt3\cdot\tfrac16=\tfrac{\sqrt3}6\approx0{,}289\).
\(\iint_S(x^2+y^2+z^2)\,dS\), \(S\): silinder \(x^2+y^2=1\), \(0\le z\le2\) (tanpa tutup). \(\mathbf r=\langle\cos\theta,\sin\theta,z\rangle\), \(|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z|=1\). \(\int_0^{2\pi}\int_0^2(1+z^2)\,dz\,d\theta=2\pi\bigl(2+\tfrac83\bigr)=\tfrac{28\pi}3\approx29{,}3\).
Massa \(m=\iint\sigma\,dS\); pusat massa \(\bar x=\frac1m\iint x\sigma\,dS\) (dst.); momen inersia \(I_z=\iint(x^2+y^2)\sigma\,dS\); muatan total \(Q=\iint\sigma\,dS\).
2. Permukaan berorientasi
Untuk integral medan vektor kita perlu memilih sisi permukaan. Permukaan \(S\) berorientasi bila ada medan vektor normal satuan \(\mathbf n\) yang kontinu pada \(S\). Setiap permukaan mulus (selain Möbius) mempunyai dua orientasi: \(\mathbf n\) dan \(-\mathbf n\).
- Grafik \(z=g(x,y)\): orientasi ke atas: \(\mathbf n=\dfrac{\langle-g_x,-g_y,1\rangle}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\).
- Permukaan tertutup (bola, kubus): orientasi positif adalah normal yang menunjuk ke luar.
- Permukaan parametrik: \(\mathbf n=\dfrac{\mathbf r_u\times\mathbf r_v}{|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|}\) (atau kebalikannya).
Pita Möbius (setengah putaran lalu disambung) hanya mempunyai satu sisi dan tidak dapat diorientasikan.
3. Fluks
Untuk medan vektor kontinu \(\mathbf F\) pada permukaan berorientasi \(S\) dengan normal satuan \(\mathbf n\): \[ \iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_D\mathbf F\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr)\,dA, \] dengan syarat \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) searah \(\mathbf n\) (bila berlawanan, beri tanda minus). Bila \(\mathbf F\) kecepatan fluida (kerapatan 1), ini adalah laju aliran fluida (volume per waktu) yang melewati \(S\) pada arah \(\mathbf n\).
\[ \iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_D\bigl(-P\,g_x-Q\,g_y+R\bigr)\,dA,\qquad\mathbf F=\langle P,Q,R\rangle. \]
\(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\), bola jari-jari \(a\), normal keluar \(\mathbf n=\frac{\langle x,y,z\rangle}a\). \(\mathbf F\cdot\mathbf n=\frac{x^2+y^2+z^2}a=a\). Fluks \(=a\cdot4\pi a^2=4\pi a^3\). (Sama dengan \(\iiint\operatorname{div}\mathbf F\,dV=3\cdot\tfrac43\pi a^3\), 16.9.)
\(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\), \(S\): \(z=1-x^2-y^2\), \(z\ge0\), orientasi ke atas. \(g_x=-2x\), \(g_y=-2y\): \(-Pg_x-Qg_y+R=2x^2+2y^2+(1-x^2-y^2)=1+x^2+y^2\). \(\iint_D(1+r^2)\,dA=2\pi\int_0^1(1+r^2)r\,dr=2\pi\bigl(\tfrac12+\tfrac14\bigr)=\tfrac{3\pi}2\approx4{,}712\).
Fluks \(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\) keluar dari kubus \([0,1]^3\): enam sisi. Sisi \(x=1\) (\(\mathbf n=\mathbf i\)): \(F\cdot n=x=1\), luas 1, fluks 1. Sisi \(x=0\) (\(\mathbf n=-\mathbf i\)): \(-x=0\). Sama untuk \(y\) dan \(z\). Total \(=3\).
\(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\), kerucut \(\mathbf r(u,v)=\langle u\cos v,u\sin v,u\rangle\), \(0\le u\le1\). \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v=\langle-u\cos v,-u\sin v,u\rangle\) (menunjuk ke dalam-atas). \(\mathbf F\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)=-u^2\cos^2v-u^2\sin^2v+u^2=0\). Fluks \(=0\): medan radial dari titik asal menyinggung kerucut sehingga tidak ada fluida yang menembusnya.
Muatan \(Q\) di titik asal: \(\mathbf E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\). Fluks melalui bola jari-jari \(a\) (normal keluar): \(\mathbf E\cdot\mathbf n=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\); fluks \(=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}\cdot4\pi a^2=\dfrac Q{\varepsilon_0}\), tidak bergantung pada \(a\) (hukum Gauss).
Suhu \(u(x,y,z)\), konduktivitas \(K\); aliran panas \(\mathbf F=-K\nabla u\). Laju aliran panas keluar melalui permukaan tertutup \(S\) adalah \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=-K\iint_S\nabla u\cdot d\mathbf S\). Untuk \(u=x^2+y^2+z^2\) pada bola jari-jari \(a\), \(\nabla u=2\mathbf r\), \(\nabla u\cdot\mathbf n=2a\): fluks panas \(=-K\cdot2a\cdot4\pi a^2=-8\pi Ka^3\) (negatif: panas mengalir ke dalam karena suhu makin besar ke luar).
4. Kesalahan umum
- Lupa faktor \(|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\) pada integral skalar, atau memakai \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) tanpa memeriksa arahnya terhadap orientasi.
- Mengabaikan orientasi: membalik normal mengubah tanda fluks.
- Memakai \(\mathbf n\) satuan bersama \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) (nilai ganda): pakai satu saja.
- Pada permukaan tertutup bertutup, lupa memasukkan tutupnya.
5. Ringkasan
- \(\iint_Sf\,dS=\iint_Df(\mathbf r)|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,dA\).
- Fluks \(\iint_S\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iint_D\mathbf F\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,dA\); grafik: \(\iint(-Pg_x-Qg_y+R)\,dA\).
- Orientasi: ke atas untuk grafik, ke luar untuk permukaan tertutup.
Berikutnya 16.8 Teorema Stokes.