Sampai Bab 11 kita bekerja di bidang (dua dimensi). Dunia nyata tiga dimensi: posisi satelit, aliran udara, permukaan gunung. Untuk membahas kalkulus di ruang kita perlu sistem koordinat tiga dimensi, yaitu satu sumbu tambahan, serta rumus jarak dan persamaan permukaan sederhana.
1. Sumbu dan bidang koordinat
Untuk menentukan posisi titik di bidang diperlukan dua bilangan \((x,y)\). Di ruang kita perlu tiga bilangan. Pilih titik asal \(O\) dan tiga garis berarah saling tegak lurus yang melalui \(O\): sumbu \(x\), sumbu \(y\), dan sumbu \(z\). Dengan konvensi kaidah tangan kanan: bila jari-jari tangan kanan melengkung dari sumbu \(x\) positif ke sumbu \(y\) positif, ibu jari menunjuk ke arah sumbu \(z\) positif.
Setiap pasang sumbu menentukan sebuah bidang koordinat:
- bidang \(xy\) (persamaan \(z=0\)),
- bidang \(yz\) (persamaan \(x=0\)),
- bidang \(xz\) (persamaan \(y=0\)).
Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama adalah oktan dengan \(x,y,z\gt0\).
Titik \(P\) memiliki koordinat \((a,b,c)\): \(a\) adalah jarak berarah dari bidang \(yz\), \(b\) dari bidang \(xz\), dan \(c\) dari bidang \(xy\). Kita menggambar \(P\) sebagai sudut dari balok persegi panjang dengan satu sudut di \(O\).
Untuk \(P(a,b,c)\): proyeksi pada bidang \(xy\) adalah \((a,b,0)\), pada bidang \(yz\) adalah \((0,b,c)\), pada bidang \(xz\) adalah \((a,0,c)\), dan pada sumbu \(x\) adalah \((a,0,0)\). Cerminan terhadap bidang \(xy\): \((a,b,-c)\); terhadap sumbu \(z\): \((-a,-b,c)\); terhadap titik asal: \((-a,-b,-c)\).
2. Persamaan sederhana di ruang
Di bidang, persamaan \(x=2\) adalah garis. Di ruang, \(x=2\) adalah himpunan semua titik \((2,y,z)\): sebuah bidang yang sejajar bidang \(yz\), berjarak 2 darinya. Jadi arti persamaan bergantung pada dimensi ruangnya.
- \(x=5\): di \(\mathbb R^2\) adalah garis vertikal; di \(\mathbb R^3\) adalah bidang sejajar bidang \(yz\).
- \(y=x\): di \(\mathbb R^2\) adalah garis; di \(\mathbb R^3\) adalah bidang yang memuat sumbu \(z\) (semua \((x,x,z)\)).
- \(z=0\): bidang \(xy\).
- \(\{x=2,\ y=3\}\): irisan dua bidang, yaitu garis sejajar sumbu \(z\) yang melalui \((2,3,0)\).
Himpunan \(\{(x,y,z):\ 0\le z\le1\}\) adalah daerah di antara bidang \(z=0\) dan \(z=1\) (lapisan tak hingga). Himpunan \(\{(x,y,z): x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0\}\) adalah oktan pertama. Himpunan \(\{(x,y,z):\ x^2+y^2\le1,\ z=0\}\) adalah cakram satuan di bidang \(xy\).
3. Jarak antara dua titik
Di bidang, \(|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) dari Teorema Pythagoras. Di ruang, kita memakai Pythagoras dua kali.
Jarak antara \(P_1(x_1,y_1,z_1)\) dan \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) adalah \[ |P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \]
Penurunan. Bangun balok dengan \(P_1\) dan \(P_2\) sebagai sudut berseberangan dan rusuk-rusuk sejajar sumbu. Misalkan \(B(x_2,y_2,z_1)\), yaitu titik pada balok yang satu bidang datar dengan \(P_1\) dan tepat di bawah (atau di atas) \(P_2\). Segitiga \(P_1BP_2\) siku-siku di \(B\) dengan \(|P_1B|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) (diagonal alas, Pythagoras pertama) dan \(|BP_2|=|z_2-z_1|\). Pythagoras memberi \(|P_1P_2|^2=|P_1B|^2+|BP_2|^2\), yaitu rumus di atas. \(\blacksquare\)
Jarak antara \(P_1(2,-1,7)\) dan \(P_2(1,-3,5)\): \(\sqrt{(1-2)^2+(-3+1)^2+(5-7)^2}=\sqrt{1+4+4}=3\). Titik tengahnya \(\bigl(\frac{2+1}2,\frac{-1-3}2,\frac{7+5}2\bigr)=\bigl(\tfrac32,-2,6\bigr)\).
Titik \(P(3,-2,-3)\), \(Q(7,0,1)\), \(R(1,2,1)\): \(|PQ|=\sqrt{16+4+16}=6\), \(|PR|=\sqrt{4+16+16}=6\), \(|QR|=\sqrt{36+4+0}=\sqrt{40}\). Dua sisi sama panjang, jadi segitiga sama kaki. Sudut siku-siku? \(6^2+6^2=72\ne40\), jadi bukan segitiga siku-siku.
Titik \(A(1,2,3)\), \(B(3,6,7)\), \(C(2,4,5)\): \(|AB|=\sqrt{4+16+16}=6\), \(|AC|=\sqrt{1+4+4}=3\), \(|BC|=\sqrt{1+4+4}=3\). Karena \(|AC|+|CB|=|AB|\), ketiganya segaris dengan \(C\) di antara \(A\) dan \(B\) (dan memang \(C\) adalah titik tengah \(AB\)).
4. Persamaan bola
Bola dengan pusat \(C(h,k,l)\) dan jari-jari \(r\) adalah himpunan semua titik \(P(x,y,z)\) dengan \(|PC|=r\). Mengkuadratkan rumus jarak, \[ (x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2. \] Khususnya bola berpusat di titik asal: \(x^2+y^2+z^2=r^2\).
Tunjukkan \(x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z=11\) adalah bola. Lengkapkan kuadrat: \((x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)+(z^2-2z+1)=11+9+4+1\), yaitu \[ (x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25. \] Pusat \((3,-2,1)\), jari-jari 5.
Bola dengan diameter dari \(A(1,2,3)\) ke \(B(5,2,-1)\): pusat adalah titik tengah \((3,2,1)\); jari-jari \(=\frac12|AB|=\frac12\sqrt{16+0+16}=2\sqrt2\). Persamaan \((x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=8\).
Bola \((x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=25\) dipotong bidang \(z=0\): \((x-3)^2+(y+2)^2+1=25\), yaitu \((x-3)^2+(y+2)^2=24\), lingkaran berjari-jari \(2\sqrt6\) pusat \((3,-2)\). Dipotong bidang \(y=3\): \((x-3)^2+25+(z-1)^2=25\Rightarrow(x-3)^2+(z-1)^2=0\), satu titik saja \((3,3,1)\); bidang \(y=3\) menyinggung bola (jarak \(5\) dari pusat sama dengan jari-jari).
\(1\le x^2+y^2+z^2\le4\) adalah kulit bola tebal: semua titik yang berjarak antara 1 dan 2 dari titik asal. \(x^2+y^2+z^2\lt0{,}25\) adalah bagian dalam bola berjari-jari \(\frac12\) (tanpa permukaannya). Himpunan \(\{x^2+y^2+z^2\le4,\ z\ge0\}\) adalah belahan atas bola padat berjari-jari 2.
5. Kesalahan umum
- Mengira \(x=2\) selalu garis. Di ruang 3D ia bidang.
- Lupa suku \((z_2-z_1)^2\) pada rumus jarak.
- Pada persamaan bola, lupa melengkapkan kuadrat untuk semua tiga peubah, atau salah tanda pusat: \((x+2)^2\) berarti pusat di \(x=-2\).
- Menggambar sumbu \(z\) ke bawah (melanggar kaidah tangan kanan).
6. Ringkasan
- Titik di ruang: \((x,y,z)\); tiga bidang koordinat, delapan oktan; kaidah tangan kanan.
- Jarak: \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}\); titik tengah: rata-rata koordinat.
- Bola: \((x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2\).
- Persamaan satu peubah (mis. \(x=c\)) berupa bidang di ruang.
Subbab berikutnya, 12.2, memperkenalkan vektor.