Pada fungsi satu peubah, garis singgung memberi hampiran linear terbaik di dekat sebuah titik. Untuk fungsi dua peubah, objek yang sepadan adalah bidang singgung.
1. Bidang singgung
Misalkan \(f\) mempunyai turunan parsial kontinu. Bidang singgung pada permukaan \(z=f(x,y)\) di titik \(P(a,b,c)\), \(c=f(a,b)\), adalah \[ z-c=f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b). \]
Penurunan. Garis singgung irisan \(y=b\) di \(P\) berarah \(\mathbf u=\langle1,0,f_x\rangle\); garis singgung irisan \(x=a\) berarah \(\mathbf v=\langle0,1,f_y\rangle\). Normal bidang yang memuat keduanya: \(\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v=\langle-f_x,-f_y,1\rangle\). Persamaan bidang melalui \(P\): \(-f_x(x-a)-f_y(y-b)+(z-c)=0\), yaitu rumus di atas. \(\blacksquare\)
\(z=x^2+y^2\) di \((1,1,2)\): \(f_x=2x=2\), \(f_y=2y=2\). Bidang singgung: \(z-2=2(x-1)+2(y-1)\), yaitu \(z=2x+2y-2\).
\(z=2x^2+y^2\) di \((1,1,3)\): \(f_x=4x=4\), \(f_y=2y=2\). \(z-3=4(x-1)+2(y-1)\Rightarrow z=4x+2y-3\). Vektor normalnya \(\langle4,2,-1\rangle\) (atau \(\langle-4,-2,1\rangle\)).
\(z=x^2+y^2-4x+6y\): \(f_x=2x-4\), \(f_y=2y+6\). Bidang singgung mendatar bila \(f_x=f_y=0\): \((2,-3)\), \(z=4+9-8-18=-13\). Titik \((2,-3,-13)\) adalah dasar paraboloid (minimum, 14.7).
2. Hampiran linear
Fungsi \[ L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \] disebut linearisasi \(f\) di \((a,b)\). Hampiran \(f(x,y)\approx L(x,y)\) baik di dekat \((a,b)\). Grafik \(L\) adalah bidang singgung.
\(f(x,y)=xe^{xy}\) di \((1,0)\): \(f=1\), \(f_x=e^{xy}(1+xy)=1\), \(f_y=x^2e^{xy}=1\). \(L=1+(x-1)+y=x+y\). Maka \(f(1{,}1,-0{,}1)\approx L=1{,}0\); nilai sebenarnya \(1{,}1e^{-0{,}11}\approx0{,}9854\). Galat sekitar 1,5%.
\(f=\sqrt{20-x^2-7y^2}\) di \((2,1)\): \(f=3\), \(f_x=-\dfrac xf=-\dfrac23\), \(f_y=-\dfrac{7y}f=-\dfrac73\). \(L=3-\frac23(x-2)-\frac73(y-1)\). Untuk \((1{,}95;\,1{,}08)\): \(L=3+0{,}0333-0{,}1867=2{,}8467\). Nilai tepat \(\sqrt{20-3{,}8025-8{,}1648}=\sqrt{8{,}0327}\approx2{,}8342\). Galat \(\approx0{,}0125\), cukup kecil mengingat perubahan masukan sampai \(0{,}08\).
3. Keterdiferensialan
\(z=f(x,y)\) terdiferensialkan di \((a,b)\) bila \(\Delta z=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)\) dapat ditulis \[ \Delta z=f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+\varepsilon_1\Delta x+\varepsilon_2\Delta y, \] dengan \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\to0\) bila \((\Delta x,\Delta y)\to(0,0)\).
Bila turunan parsial \(f_x,f_y\) ada di sekitar \((a,b)\) dan kontinu di \((a,b)\), maka \(f\) terdiferensialkan di \((a,b)\). Jika terdiferensialkan, maka \(f\) kontinu di titik itu.
Keberadaan \(f_x\) dan \(f_y\) saja tidak menjamin keterdiferensialan, bahkan tidak menjamin kekontinuan: fungsi \(g=\frac{xy}{x^2+y^2}\), \(g(0,0)=0\) (14.2) memiliki \(g_x(0,0)=g_y(0,0)=0\) tetapi tidak kontinu di asal.
4. Diferensial
\[ dz=f_x\,dx+f_y\,dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy. \] Dengan \(dx=\Delta x\), \(dy=\Delta y\), \(dz\) adalah perubahan sepanjang bidang singgung sedangkan \(\Delta z\) adalah perubahan sepanjang permukaan; \(\Delta z\approx dz\) untuk perubahan kecil. Untuk tiga peubah, \(dw=w_x\,dx+w_y\,dy+w_z\,dz\).
\(V=\pi r^2h\), \(dV=2\pi rh\,dr+\pi r^2\,dh\). Silinder berjari-jari \(r=5\) cm dan tinggi \(h=12\) cm diukur dengan galat maksimum 0,1 cm untuk keduanya: \(dV=2\pi(5)(12)(0{,}1)+\pi(25)(0{,}1)=12\pi+2{,}5\pi=14{,}5\pi\approx45{,}55\ \text{cm}^3\). Volume \(300\pi\approx942{,}5\ \text{cm}^3\); galat relatif \(\approx4{,}8\%\).
Balok berukuran \(75\times60\times40\) cm dengan galat pengukuran maksimum \(0{,}2\) cm per sisi. \(V=xyz\), \(dV=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=(2400+3000+4500)(0{,}2)=1980\ \text{cm}^3\). \(V=180\,000\ \text{cm}^3\), galat relatif \(\approx1{,}1\%\). Galat relatif adalah jumlah galat relatif tiap sisi: \(\frac{0{,}2}{75}+\frac{0{,}2}{60}+\frac{0{,}2}{40}=0{,}0027+0{,}0033+0{,}005=0{,}011\).
\(\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\), \(R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Untuk \(R_1=100\), \(R_2=300\): \(R=75\ \Omega\). \(\dfrac{\partial R}{\partial R_1}=\dfrac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}=\dfrac{90000}{160000}=0{,}5625\); \(\dfrac{\partial R}{\partial R_2}=\dfrac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}=\dfrac{10000}{160000}=0{,}0625\). Bila tiap hambatan memiliki galat \(\pm1\ \Omega\), \(dR\le(0{,}5625+0{,}0625)\cdot1=0{,}625\ \Omega\). Hambatan yang lebih kecil lebih mempengaruhi hasil.
5. Kesalahan umum
- Memakai bidang singgung jauh dari titik singgungnya; hampiran hanya baik dekat \((a,b)\).
- Menyamakan \(\Delta z\) dengan \(dz\): sama hanya pada hampiran.
- Menganggap keberadaan \(f_x,f_y\) cukup untuk keterdiferensialan.
- Lupa mengevaluasi turunan parsial di titik singgung sebelum memasukkannya ke persamaan bidang.
6. Ringkasan
- Bidang singgung: \(z-c=f_x(x-a)+f_y(y-b)\); normal \(\langle f_x,f_y,-1\rangle\).
- \(L(x,y)\) hampiran linear; \(dz=f_x\,dx+f_y\,dy\).
- Turunan parsial kontinu \(\Rightarrow\) terdiferensialkan \(\Rightarrow\) kontinu.
- Diferensial dipakai untuk menaksir galat pengukuran.
Berikutnya 14.5 Aturan Rantai.