Persamaan diferensial orde dua muncul di mana-mana: getaran pegas, rangkaian listrik, bandul, gelombang. Pada subbab ini kita membahas jenis yang paling penting dan dapat diselesaikan secara tuntas, yaitu persamaan linear homogen dengan koefisien konstan.
1. Persamaan linear orde dua
Persamaan diferensial linear orde dua berbentuk \[ P(x)\,y''+Q(x)\,y'+R(x)\,y=G(x), \] dengan \(P,Q,R,G\) fungsi kontinu. Bila \(G(x)\equiv0\), persamaan disebut homogen; bila tidak, takhomogen (17.2). Bila \(P,Q,R\) konstanta, persamaannya berkoefisien konstan.
Pada subbab ini kita mempelajari \[ ay''+by'+cy=0,\qquad a,b,c\ \text{konstanta},\ a\ne0. \tag{1} \]
Jika \(y_1\) dan \(y_2\) adalah penyelesaian persamaan linear homogen, maka \(c_1y_1+c_2y_2\) juga penyelesaian untuk sembarang konstanta \(c_1,c_2\).
Bukti. \(a(c_1y_1+c_2y_2)''+b(c_1y_1+c_2y_2)'+c(c_1y_1+c_2y_2)=c_1(ay_1''+by_1'+cy_1)+c_2(ay_2''+by_2'+cy_2)=0\). \(\blacksquare\)
Jika \(y_1,y_2\) penyelesaian (1) yang bebas linear (tidak ada yang merupakan kelipatan konstan yang lain), maka penyelesaian umum (1) adalah \[ y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \] Kebebasan linear dapat diuji dengan Wronskian \(W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2\ne0\).
Masalah nilai awal: \(y(x_0)=y_0\), \(y'(x_0)=y_1\). Teorema eksistensi dan ketunggalan menjamin tepat satu penyelesaian. Masalah nilai batas: \(y(x_0)=y_0\), \(y(x_1)=y_1\); penyelesaiannya bisa tunggal, tak ada, atau tak hingga banyak.
2. Persamaan karakteristik
Coba penyelesaian \(y=e^{rx}\). Maka \(y'=re^{rx}\), \(y''=r^2e^{rx}\), dan (1) menjadi \((ar^2+br+c)e^{rx}=0\). Karena \(e^{rx}\ne0\): \[ ar^2+br+c=0\quad\text{(persamaan karakteristik)},\qquad r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \] Tiga kasus bergantung pada diskriminan \(D=b^2-4ac\).
| Akar karakteristik | Penyelesaian umum |
|---|---|
| \(D\gt0\): dua akar real berbeda \(r_1,r_2\) | \(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\) |
| \(D=0\): akar ganda \(r\) | \(y=(c_1+c_2x)e^{rx}\) |
| \(D\lt0\): akar kompleks \(\alpha\pm i\beta\) | \(y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)\) |
Mengapa \(xe^{rx}\) pada kasus ganda? Akar ganda berarti \(r=-\frac b{2a}\) dan \(ar^2+br+c=a(r-r_0)^2\). Uji \(y=xe^{r_0x}\): \(y'=(1+r_0x)e^{r_0x}\), \(y''=(2r_0+r_0^2x)e^{r_0x}\); \(ay''+by'+cy=e^{r_0x}\bigl[a(2r_0+r_0^2x)+b(1+r_0x)+cx\bigr]=e^{r_0x}\bigl[(2ar_0+b)+x(ar_0^2+br_0+c)\bigr]=0\), karena \(2ar_0+b=0\) dan \(r_0\) akar.
Mengapa sinus dan cosinus pada kasus kompleks? Rumus Euler \(e^{i\beta x}=\cos\beta x+i\sin\beta x\) (11.10). Akar \(\alpha\pm i\beta\) memberi \(e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x)\); bagian real dan imajiner masing-masing adalah penyelesaian real yang bebas linear (kombinasi linear penyelesaian kompleks).
3. Contoh
\(y''-y'-6y=0\): \(r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0\), \(r=3,-2\). \(y=c_1e^{3x}+c_2e^{-2x}\). Dengan \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\): \(c_1+c_2=1\) dan \(3c_1-2c_2=0\), jadi \(c_1=\frac25\), \(c_2=\frac35\): \(y=\frac25e^{3x}+\frac35e^{-2x}\); misalnya \(y(1)\approx8{,}115\).
\(y''+6y'+9y=0\): \((r+3)^2=0\), \(r=-3\). \(y=(c_1+c_2x)e^{-3x}\). Dengan \(y(0)=2\), \(y'(0)=-1\): \(c_1=2\); \(y'=(c_2-3c_1-3c_2x)e^{-3x}\), \(y'(0)=c_2-6=-1\Rightarrow c_2=5\). \(y=(2+5x)e^{-3x}\), \(y(1)=7e^{-3}\approx0{,}3485\).
\(y''-2y'+5y=0\): \(r=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}2=1\pm2i\). \(y=e^x(c_1\cos2x+c_2\sin2x)\). Dengan \(y(0)=1\), \(y'(0)=3\): \(c_1=1\); \(y'(0)=\alpha c_1+\beta c_2=c_1+2c_2=3\Rightarrow c_2=1\). \(y=e^x(\cos2x+\sin2x)\), \(y(1)=e(\cos2+\sin2)\approx1{,}3405\).
\(y''+4y=0\): \(r=\pm2i\), \(\alpha=0\). \(y=c_1\cos2x+c_2\sin2x\): gelombang tanpa peredam. Dapat juga ditulis \(y=A\cos(2x-\delta)\) dengan amplitudo \(A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}\).
\(4y''-12y'+9y=0\): \(4r^2-12r+9=(2r-3)^2=0\), \(r=\frac32\) ganda. \(y=(c_1+c_2x)e^{3x/2}\). Persamaan \(y''-y=0\): \(r=\pm1\), \(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\), yang juga dapat ditulis \(y=A\cosh x+B\sinh x\).
Persamaan dengan penyelesaian \(e^{2x}\) dan \(e^{-5x}\): akar \(2,-5\), karakteristik \((r-2)(r+5)=r^2+3r-10\), jadi \(y''+3y'-10y=0\).
Untuk \(y_1=e^{3x}\), \(y_2=e^{-2x}\): \(W=e^{3x}(-2e^{-2x})-3e^{3x}e^{-2x}=-5e^{x}\ne0\): bebas linear. Untuk \(y_1=\cos2x\) dan \(y_2=\sin2x\): \(W=2\cos^22x+2\sin^22x=2\).
4. Masalah nilai batas
\(y''+2y=0\), \(y(0)=1\), \(y(\pi)=2\). \(y=c_1\cos\sqrt2x+c_2\sin\sqrt2x\). \(y(0)=1\Rightarrow c_1=1\). \(y(\pi)=\cos\sqrt2\pi+c_2\sin\sqrt2\pi=2\Rightarrow c_2=\dfrac{2-\cos\sqrt2\pi}{\sin\sqrt2\pi}\approx\dfrac{2+0{,}266}{-0{,}964}\approx-2{,}351\). Penyelesaian tunggal.
\(y''+y=0\), \(y(0)=0\), \(y(\pi)=1\): \(y=c_1\cos x+c_2\sin x\), \(y(0)=0\Rightarrow c_1=0\); \(y(\pi)=c_2\sin\pi=0\ne1\). Tidak ada penyelesaian. Bila \(y(\pi)=0\), maka \(y=c_2\sin x\) untuk sembarang \(c_2\): tak hingga banyak. Berbeda dengan masalah nilai awal, masalah nilai batas tidak otomatis mempunyai penyelesaian tunggal.
\(y''+\lambda y=0\), \(y(0)=0\), \(y(L)=0\). Untuk \(\lambda=\mu^2\gt0\): \(y=c\sin\mu x\) dan \(y(L)=0\Rightarrow\mu L=n\pi\). Nilai \(\lambda_n=\bigl(\frac{n\pi}L\bigr)^2\), \(y_n=\sin\frac{n\pi x}L\): inilah mode getar senar bertepi tetap. Untuk \(\lambda\le0\) hanya \(y\equiv0\).
5. Kesalahan umum
- Mencampur tanda pada persamaan karakteristik (mis. \(y''-y'-6y\to r^2-r-6\), bukan \(r^2+r-6\)).
- Pada akar kompleks, lupa faktor \(e^{\alpha x}\) atau memakai \(\beta\) yang salah (\(\beta\) adalah bagian imajiner, bukan \(\beta^2\)).
- Pada akar ganda, menulis \(c_1e^{rx}+c_2e^{rx}\) (tidak bebas linear): perlu faktor \(x\).
- Menganggap masalah nilai batas selalu mempunyai penyelesaian tunggal.
6. Ringkasan
- \(ay''+by'+cy=0\): selesaikan \(ar^2+br+c=0\).
- Real berbeda: \(c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\); ganda: \((c_1+c_2x)e^{rx}\); kompleks: \(e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)\).
- Dua syarat awal menentukan \(c_1,c_2\) secara tunggal.
Berikutnya 17.2 Persamaan Linear Takhomogen.