Sebagian besar besaran fisika dapat diterangkan dengan satu bilangan: suhu, massa, panjang. Besaran seperti ini disebut skalar. Namun ada besaran yang memerlukan juga arah: perpindahan, kecepatan, gaya. Besaran itu dimodelkan oleh vektor.
1. Vektor secara geometris
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang) dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah (panah) dari titik awal \(A\) ke titik akhir \(B\), ditulis \(\overrightarrow{AB}\). Dua vektor sama bila besar dan arahnya sama, walaupun posisinya berbeda. Vektor nol \(\mathbf0\) mempunyai panjang 0 dan tidak mempunyai arah tertentu.
Huruf tebal (\(\mathbf a\)) atau tanda panah (\(\vec a\)) dipakai untuk vektor; panjangnya ditulis \(|\mathbf a|\).
Penjumlahan: aturan segitiga dan jajargenjang
Untuk menjumlahkan \(\mathbf a\) dan \(\mathbf b\): letakkan titik awal \(\mathbf b\) di titik akhir \(\mathbf a\); vektor dari titik awal \(\mathbf a\) ke titik akhir \(\mathbf b\) adalah \(\mathbf a+\mathbf b\). Hasil yang sama diperoleh dengan membuat jajargenjang dari \(\mathbf a\) dan \(\mathbf b\) yang titik awalnya berimpit: diagonalnya adalah \(\mathbf a+\mathbf b\). Jadi \(\mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a\).
Perkalian dengan skalar
Untuk skalar \(c\) dan vektor \(\mathbf a\): \(c\mathbf a\) mempunyai panjang \(|c||\mathbf a|\) dan searah \(\mathbf a\) bila \(c\gt0\), berlawanan arah bila \(c\lt0\). Dua vektor tak nol sejajar bila yang satu kelipatan skalar yang lain. Pengurangan: \(\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)\).
2. Vektor dalam komponen
Letakkan titik awal vektor di titik asal. Titik akhirnya \((a_1,a_2,a_3)\) menentukan vektor itu, yang ditulis \[ \mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle. \] Bilangan \(a_1,a_2,a_3\) adalah komponen \(\mathbf a\). Vektor ini disebut vektor posisi titik \((a_1,a_2,a_3)\).
Untuk \(A(x_1,y_1,z_1)\) dan \(B(x_2,y_2,z_2)\): \[ \overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1\rangle. \] (Titik akhir dikurangi titik awal.) Jika \(\mathbf a,\mathbf b\) vektor posisi \(A,B\), maka \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a\).
Aljabar vektor
Dengan \(\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\), \(\mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\), \(c\) skalar: \[ \mathbf a+\mathbf b=\langle a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\rangle,\qquad c\mathbf a=\langle ca_1,ca_2,ca_3\rangle. \] Panjang (besar) vektor, dari rumus jarak: \[ |\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}. \] Sifat-sifat: \(\mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a\), \((\mathbf a+\mathbf b)+\mathbf c=\mathbf a+(\mathbf b+\mathbf c)\), \(\mathbf a+\mathbf0=\mathbf a\), \(\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0\), \(c(\mathbf a+\mathbf b)=c\mathbf a+c\mathbf b\), \((c+d)\mathbf a=c\mathbf a+d\mathbf a\), \((cd)\mathbf a=c(d\mathbf a)\), \(1\mathbf a=\mathbf a\). Semuanya mengikuti dari sifat bilangan real pada tiap komponen.
Vektor basis standar
Tiga vektor satuan sepanjang sumbu: \[ \mathbf i=\langle1,0,0\rangle,\quad\mathbf j=\langle0,1,0\rangle,\quad\mathbf k=\langle0,0,1\rangle. \] Setiap vektor ditulis tunggal sebagai kombinasi linear: \(\langle a_1,a_2,a_3\rangle=a_1\mathbf i+a_2\mathbf j+a_3\mathbf k\).
Vektor satuan
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. Untuk \(\mathbf a\ne\mathbf0\), vektor satuan searah \(\mathbf a\) adalah \(\dfrac{\mathbf a}{|\mathbf a|}\) (mengalikan dengan \(\frac1{|\mathbf a|}\) mengubah panjang menjadi 1 tanpa mengubah arah).
3. Contoh
\(\mathbf a=\langle3,-1,2\rangle\), \(\mathbf b=\langle1,4,-2\rangle\). Maka \(\mathbf a+\mathbf b=\langle4,3,0\rangle\); \(2\mathbf a-3\mathbf b=\langle6-3,\,-2-12,\,4+6\rangle=\langle3,-14,10\rangle\); \(|\mathbf a|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\); \(|\mathbf b|=\sqrt{21}\).
Vektor satuan searah \(\mathbf a=\langle3,-1,2\rangle\): \(\dfrac1{\sqrt{14}}\langle3,-1,2\rangle\approx\langle0{,}802,-0{,}267,0{,}535\rangle\). Vektor dengan panjang 6 searah \(\mathbf a\): \(\dfrac6{\sqrt{14}}\langle3,-1,2\rangle\).
\(A(1,2,-1)\), \(B(4,0,3)\): \(\overrightarrow{AB}=\langle3,-2,4\rangle\), \(|AB|=\sqrt{29}\). Titik yang membagi \(AB\) dengan perbandingan \(1:2\) dari \(A\): \(A+\frac13\overrightarrow{AB}=\bigl(2,\ \tfrac43,\ \tfrac13\bigr)\).
\(\langle2,-4,6\rangle\) dan \(\langle-1,2,-3\rangle\): yang pertama \(=-2\cdot\)yang kedua, jadi sejajar (berlawanan arah). \(\langle1,2,3\rangle\) dan \(\langle2,4,7\rangle\): perbandingan komponen \(2,2,\frac73\) tidak sama, tidak sejajar.
Titik berat segitiga \(ABC\) dengan vektor posisi \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\) adalah \(\mathbf g=\tfrac13(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c)\). Untuk \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\): \(\mathbf g=\langle\tfrac13,\tfrac23,1\rangle\).
4. Penerapan: gaya dalam keseimbangan
Gaya adalah vektor; gaya total pada benda adalah jumlah vektor semua gaya. Benda dalam keseimbangan bila jumlah gayanya nol.
Beban 100 N digantung pada dua kabel yang membentuk sudut \(50^\circ\) dan \(32^\circ\) terhadap garis datar (kabel pertama ke kiri, kedua ke kanan). Misalkan tegangan \(T_1\) dan \(T_2\). Keseimbangan komponen: \[ \text{horizontal: }-T_1\cos50^\circ+T_2\cos32^\circ=0,\qquad\text{vertikal: }T_1\sin50^\circ+T_2\sin32^\circ=100. \] Dari persamaan pertama \(T_2=T_1\dfrac{\cos50^\circ}{\cos32^\circ}\). Substitusi: \(T_1\bigl(\sin50^\circ+\cos50^\circ\tan32^\circ\bigr)=100\), sehingga \(T_1\approx85{,}6\) N dan \(T_2\approx64{,}9\) N. Kabel yang lebih curam menanggung gaya lebih besar.
Pesawat terbang dengan kecepatan udara \(\langle0,200\rangle\) km/jam (ke utara) dan angin \(\langle60,0\rangle\) (ke timur). Kecepatan terhadap tanah adalah jumlahnya, \(\langle60,200\rangle\), dengan laju \(\sqrt{3600+40000}=208{,}8\) km/jam, arah menyimpang \(\arctan\frac{60}{200}\approx16{,}7^\circ\) ke timur dari utara.
5. Kesalahan umum
- Menulis \(\overrightarrow{AB}=A-B\). Yang benar: titik akhir dikurangi titik awal.
- Mengira \(|\mathbf a+\mathbf b|=|\mathbf a|+|\mathbf b|\). Yang benar hanya \(\le\) (ketaksamaan segitiga), sama bila searah.
- Menyamakan titik \((a,b,c)\) dengan vektor \(\langle a,b,c\rangle\): berhubungan tetapi berbeda (titik vs perpindahan).
- Lupa mengubah arah/sudut ke komponen saat bekerja dengan gaya.
6. Ringkasan
- Vektor: besar dan arah; komponen \(\langle a_1,a_2,a_3\rangle\); \(\overrightarrow{AB}=B-A\).
- Penjumlahan dan perkalian skalar bekerja per komponen; \(|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).
- \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\) basis standar; vektor satuan \(=\mathbf a/|\mathbf a|\).
- Keseimbangan gaya: jumlah komponen sama dengan nol.
Berikutnya 12.3 Hasil Kali Titik.