Setelah kita bisa menyatakan kurva secara parametrik, pertanyaan alaminya: bagaimana menghitung garis singgung, luas, panjang kurva, dan luas permukaan putar tanpa terlebih dahulu menghilangkan parameter? Jawabannya adalah menurunkan semua rumus yang sudah kita kenal ke dalam bahasa parameter \(t\).
1. Garis singgung
Misalkan \(x=f(t)\) dan \(y=g(t)\) keduanya terdiferensialkan, dan \(y\) juga terdiferensialkan sebagai fungsi \(x\). Aturan rantai memberi \[ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}. \] Jika \(dx/dt\neq 0\), kita selesaikan untuk \(dy/dx\):
Interpretasi fisis: \(dx/dt\) dan \(dy/dt\) adalah kecepatan horizontal dan vertikal partikel. Kemiringan garis singgung adalah rasio keduanya. Dari sini:
- Tangen horizontal terjadi bila \(dy/dt=0\) dan \(dx/dt\ne 0\).
- Tangen vertikal terjadi bila \(dx/dt=0\) dan \(dy/dt\ne 0\).
- Bila keduanya nol, belum bisa disimpulkan apa-apa; gunakan limit (misalnya aturan l'Hôpital) seperti pada sikloid di bawah.
Turunan kedua
Kecekungan ditentukan oleh \(d^2y/dx^2\). Terapkan Rumus (1) pada fungsi \(dy/dx\) (bukan pada \(y\)): \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}. \]
\[ \frac{d^2y}{dx^2}\ne\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}. \] Anda harus mendiferensialkan hasil bagi \(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) terhadap \(t\), baru dibagi lagi dengan \(dx/dt\).
Kurva \(C\): \(x=t^2,\ y=t^3-3t\).
(a) Dua garis singgung di (3, 0). \(y=t(t^2-3)=0\) bila \(t=0\) atau \(t=\pm\sqrt3\). Titik \((3,0)\) memenuhi \(x=t^2=3\), yaitu \(t=\pm\sqrt3\): kurva melewati titik ini dua kali (memotong dirinya). Hitung \[ \frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-3}{2t}. \] Untuk \(t=\sqrt3\): kemiringan \(=\dfrac{9-3}{2\sqrt3}=\sqrt3\); untuk \(t=-\sqrt3\): kemiringan \(=-\sqrt3\). Maka garis singgungnya \(y=\sqrt3\,(x-3)\) dan \(y=-\sqrt3\,(x-3)\).
(b) Tangen horizontal/vertikal. Horizontal: \(dy/dt=3t^2-3=0\Rightarrow t=\pm1\) (di sini \(dx/dt=2t\ne0\)), titik \((1,-2)\) dan \((1,2)\). Vertikal: \(dx/dt=2t=0\Rightarrow t=0\) (di sini \(dy/dt=-3\ne0\)), titik \((0,0)\).
(c) Kecekungan. Pertama \(\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t^2-3}{2t}\right)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac32 t-\dfrac{3}{2t}\right)=\dfrac32+\dfrac{3}{2t^2}=\dfrac{3(t^2+1)}{2t^2}\). Dibagi \(dx/dt=2t\): \[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3(t^2+1)}{4t^3}. \] Positif (cekung ke atas) untuk \(t>0\); negatif (cekung ke bawah) untuk \(t\lt 0\).
Sikloid \(x=r(\theta-\sin\theta),\ y=r(1-\cos\theta)\): \[ \frac{dy}{dx}=\frac{r\sin\theta}{r(1-\cos\theta)}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}. \] Di \(\theta=\pi/3\): \(\sin=\tfrac{\sqrt3}{2}\), \(1-\cos=\tfrac12\), kemiringan \(=\sqrt3\). Titiknya \(\bigl(r(\tfrac\pi3-\tfrac{\sqrt3}2),\ \tfrac r2\bigr)\), sehingga \[ y-\tfrac r2=\sqrt3\Bigl(x-\tfrac{\pi r}{3}+\tfrac{\sqrt3\,r}{2}\Bigr)\ \Longrightarrow\ y=\sqrt3\,x-\tfrac{\pi r}{\sqrt3}+\tfrac{3r}{2}+\tfrac r2, \] yaitu \(\sqrt3\,x-y=r\Bigl(\dfrac{\pi}{\sqrt3}-2\Bigr)\).
Tangen horizontal: \(\sin\theta=0\) dan \(1-\cos\theta\neq0\), yaitu \(\theta=(2n+1)\pi\) — titik puncak \(((2n+1)\pi r,\,2r)\).
Di \(\theta=2n\pi\) kedua turunan nol (ujung runcing di permukaan tanah). Dengan l'Hôpital, \[ \lim_{\theta\to2n\pi^+}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\lim\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=+\infty,\qquad \lim_{\theta\to2n\pi^-}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=-\infty, \] jadi garis singgungnya vertikal pada titik-titik runcing itu.
2. Luas di bawah kurva parametrik
Luas di bawah \(y=F(x)\ (\ge0)\) dari \(x=a\) sampai \(x=b\) adalah \(\int_a^b F(x)\,dx=\int_a^b y\,dx\). Bila kurva ditelusuri sekali oleh \(x=f(t),\ y=g(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\), maka substitusi \(x=f(t),\ dx=f'(t)\,dt\) memberi
Batas \(t\) diambil dari kondisi: \(x=a\) terjadi di salah satu ujung interval, \(x=b\) di ujung lainnya. Bila kurva berjalan dari kanan ke kiri, urutan batasnya terbalik, sehingga hasil integral mungkin negatif; luas yang sebenarnya adalah nilai mutlaknya.
Satu busur: \(0\le\theta\le2\pi\), \(y=r(1-\cos\theta)\), \(dx=r(1-\cos\theta)\,d\theta\). \[ A=\int_0^{2\pi}r(1-\cos\theta)\,r(1-\cos\theta)\,d\theta=r^2\!\int_0^{2\pi}(1-2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta. \] Gunakan \(\cos^2\theta=\tfrac12(1+\cos2\theta)\): \[ A=r^2\!\int_0^{2\pi}\!\Bigl(\tfrac32-2\cos\theta+\tfrac12\cos2\theta\Bigr)d\theta=r^2\Bigl[\tfrac32\theta-2\sin\theta+\tfrac14\sin2\theta\Bigr]_0^{2\pi}=3\pi r^2. \] Luas ini tiga kali luas lingkaran pembangkit (\(\pi r^2\)). Galileo menebaknya; pembuktian pertama diberikan Roberval dan Torricelli.
Elips \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\). Separuh atas: \(0\le t\le \pi\), tetapi saat \(t\) naik \(x\) menurun dari \(a\) ke \(-a\). Jadi luas separuh atas \(=\int_{x=-a}^{a}y\,dx=\int_{t=\pi}^{0}b\sin t\,(-a\sin t)\,dt=ab\int_0^\pi\sin^2t\,dt=ab\cdot\tfrac\pi2\). Dua kali itu memberi luas elips \(=\pi ab\).
3. Panjang busur
Untuk kurva \(y=F(x)\) dengan \(F'\) kontinu, \(L=\int_a^b\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx\). Bila kurva ditelusuri sekali oleh \((f(t),g(t))\) dengan \(f'(t)>0\) (sehingga dari kiri ke kanan), maka dengan Rumus (1) dan substitusi \(dx=f'(t)dt\): \[ L=\int\sqrt{1+\Bigl(\frac{g'}{f'}\Bigr)^2}\,f'\,dt=\int\sqrt{(f')^2+(g')^2}\,dt. \]
Jika \(C\) diberikan oleh \(x=f(t),\ y=g(t),\ \alpha\le t\le\beta\), dengan \(f',g'\) kontinu dan \(C\) ditelusuri tepat satu kali, maka \[ L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\;dt. \]
Mengapa rumus ini masuk akal
Bagi \([\alpha,\beta]\) menjadi \(n\) bagian sama panjang, hubungkan titik-titik \(P_i=(f(t_i),g(t_i))\) dengan poligon. Panjang tiap sisi \(|P_{i-1}P_i|=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}\). Dengan Teorema Nilai Rata-rata, \(\Delta x_i=f'(t_i^*)\Delta t\) dan \(\Delta y_i=g'(t_i^{**})\Delta t\) untuk titik-titik \(t_i^*,t_i^{**}\) dalam subinterval yang sama. Jadi panjang poligon \(=\sum\sqrt{f'(t_i^*)^2+g'(t_i^{**})^2}\,\Delta t\), yang menyerupai jumlah Riemann dan menuju integral di atas bila \(n\to\infty\) (kekontinuan \(f',g'\) menjamin \(t_i^*\) dan \(t_i^{**}\) boleh dianggap sama pada limitnya). Secara simbolik \(ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\).
Untuk \(x=\cos t,\ y=\sin t,\ 0\le t\le 2\pi\), integral memberi \(\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\) (benar). Untuk \(x=\sin2t,\ y=\cos2t\) pada interval yang sama integralnya \(\int_0^{2\pi}2\,dt=4\pi\) — dua kali keliling, karena lingkaran dilalui dua kali. Integral selalu mengukur jarak tempuh partikel, bukan panjang himpunan titik.
\(\dfrac{dx}{d\theta}=r(1-\cos\theta),\ \dfrac{dy}{d\theta}=r\sin\theta\). Maka \[ \sqrt{r^2(1-\cos\theta)^2+r^2\sin^2\theta}=r\sqrt{2-2\cos\theta}. \] Karena \(1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)\), kita peroleh \(\sqrt{2-2\cos\theta}=\sqrt{4\sin^2(\theta/2)}=2\bigl|\sin\tfrac\theta2\bigr|=2\sin\tfrac\theta2\) untuk \(0\le\theta\le2\pi\). Jadi \[ L=2r\int_0^{2\pi}\sin\tfrac\theta2\,d\theta=2r\Bigl[-2\cos\tfrac\theta2\Bigr]_0^{2\pi}=2r(2+2)=8r. \] Panjang satu busur sikloid adalah delapan kali jari-jari lingkaran pembangkit (dibuktikan Christopher Wren tahun 1658).
4. Luas permukaan benda putar
Jika kurva \(x=f(t),\ y=g(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\), diputar mengelilingi sumbu \(x\), dengan \(f',g'\) kontinu dan \(g(t)\ge0\), maka luas permukaannya \[ S=\int_\alpha^\beta 2\pi y\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt=\int 2\pi y\,ds. \] Jika diputar mengelilingi sumbu \(y\) (dengan \(x\ge0\)), ganti \(y\) dengan \(x\): \(S=\int2\pi x\,ds\). Idenya: setiap potongan busur \(ds\) menyapu pita sempit dengan keliling \(2\pi y\) dan lebar \(ds\).
Bola jari-jari \(r\) dihasilkan oleh pemutaran setengah lingkaran \(x=r\cos t,\ y=r\sin t,\ 0\le t\le\pi\) mengelilingi sumbu \(x\). Karena \(ds=r\,dt\), \[ S=\int_0^\pi2\pi(r\sin t)\,r\,dt=2\pi r^2\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi=4\pi r^2. \]
5. Ringkasan rumus
| Besaran | Rumus parametrik |
|---|---|
| Kemiringan | \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\) |
| Turunan kedua | \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}(dy/dx)}{dx/dt}\) |
| Luas | \(\displaystyle\int y\,dx=\int g(t)f'(t)\,dt\) |
| Panjang | \(\displaystyle\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt\) |
| Luas permukaan (sumbu \(x\)) | \(\displaystyle\int2\pi y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt\) |
Anda dapat memeriksa Contoh 3 dan 5 secara numerik dengan kalkulator Python: pilih "Luas di bawah kurva parametrik" dengan \(x(t)=t-\sin(t),\ y(t)=1-\cos(t)\), batas \(0\) sampai \(2*pi\) (hasil \(3\pi\approx9.4248\)).