Bila integran bergantung pada tiga peubah dan daerahnya berupa padatan di ruang, kita memakai integral rangkap tiga. Gagasannya sama dengan integral ganda dua, dengan satu dimensi tambahan.
1. Integral rangkap tiga atas balok
Untuk balok \(B=[a,b]\times[c,d]\times[r,s]\), bagi menjadi \(lmn\) balok kecil \(B_{ijk}\) dengan volume \(\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z\). Pilih titik contoh dan jumlahkan: \[ \iiint_Bf(x,y,z)\,dV=\lim_{l,m,n\to\infty}\sum_{i,j,k}f(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,\Delta V. \] Bila \(f\) kontinu, limit ada. Teorema Fubini berlaku: integral rangkap tiga sama dengan integral berulang dalam urutan apa pun (enam kemungkinan urutan).
\(\displaystyle\iiint_Bxyz^2\,dV\), \(B=[0,1]\times[-1,2]\times[0,3]\). Karena integran terpisah: \(\int_0^1x\,dx\cdot\int_{-1}^2y\,dy\cdot\int_0^3z^2dz=\tfrac12\cdot\tfrac32\cdot9=\tfrac{27}4=6{,}75\).
2. Padatan umum
Untuk padatan terbatas \(E\), integral \(\iiint_Ef\,dV\) didefinisikan dengan memperluas \(f\) menjadi nol di luar \(E\). Kita menghitungnya sebagai berikut. Pandang \(E\) sebagai padatan yang terletak antara dua permukaan di atas daerah \(D\) di bidang \(xy\).
\(E=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}\). Maka \[ \iiint_Ef\,dV=\iint_D\Bigl[\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\Bigr]dA. \] Bila \(D\) tipe I: \(D=\{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\), maka \[ \iiint_Ef\,dV=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f\,dz\,dy\,dx. \]
Padatan tipe 2 dan tipe 3 didefinisikan serupa dengan \(D\) di bidang \(yz\) atau \(xz\) (batas dalam berupa \(x\) atau \(y\)).
- Gambar \(E\) dan proyeksinya \(D\) pada bidang koordinat.
- Tentukan permukaan bawah dan atas (batas integral dalam).
- Tentukan batas \(D\) (dua integral luar).
- Hitung dari dalam ke luar.
\(E\): padatan di oktan pertama di bawah bidang \(x+y+z=1\). \(D\): segitiga \(0\le x\le1\), \(0\le y\le1-x\); \(0\le z\le1-x-y\). Volume: \(\iiint1\,dV=\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx=\int_0^1\tfrac{(1-x)^2}2dx=\tfrac16\). Dan \(\displaystyle\iiint_Ez\,dV=\int_0^1\int_0^{1-x}\tfrac{(1-x-y)^2}2\,dy\,dx=\int_0^1\tfrac{(1-x)^3}6dx=\tfrac1{24}\). Maka koordinat \(z\) sentroid \(\bar z=\dfrac{1/24}{1/6}=\tfrac14\) (dan sama untuk \(\bar x,\bar y\) karena simetri).
\(\displaystyle\iiint_E2x\,dV\), \(E\) di oktan pertama di bawah bidang \(2x+3y+z=6\). Proyeksi: \(0\le x\le3\), \(0\le y\le2-\tfrac{2x}3\); \(0\le z\le6-2x-3y\). Integral dalam: \(\int_0^{6-2x-3y}2x\,dz=2x(6-2x-3y)\). Dengan \(a=6-2x\): \(\int_0^{a/3}(a-3y)\,dy=\frac{a^2}3-\frac{a^2}6=\frac{a^2}6\). Sisa: \(\int_0^32x\dfrac{(6-2x)^2}6dx=\tfrac{4}{3}\int_0^3x(3-x)^2dx=\tfrac43\cdot\tfrac{27}{4}=9\).
Volume padatan yang dibatasi \(z=x^2+3y^2\) (bawah) dan \(z=8-x^2-y^2\) (atas). Perpotongan: \(x^2+3y^2=8-x^2-y^2\Rightarrow2x^2+4y^2=8\Rightarrow\frac{x^2}4+\frac{y^2}2=1\), elips \(D\). \(V=\iint_D(8-2x^2-4y^2)\,dA\). Substitusi \(x=2r\cos\theta\), \(y=\sqrt2\,r\sin\theta\) (elips menjadi \(r\le1\)), Jacobian \(2\sqrt2\,r\) (15.10): \(8-2x^2-4y^2=8-8r^2\). \(V=\int_0^{2\pi}\int_0^18(1-r^2)\,2\sqrt2\,r\,dr\,d\theta=16\sqrt2\cdot2\pi\cdot\tfrac14=8\sqrt2\,\pi\approx35{,}54\).
Padatan di bawah \(z=1-y\) dan di atas bidang \(xy\), \(0\le x\le2\), \(y\ge0\). \(V=\int_0^2\int_0^1(1-y)\,dy\,dx=2\cdot\tfrac12=1\). Sebagai padatan tipe 3 (proyeksi pada bidang \(yz\)): segitiga \(0\le y\le1\), \(0\le z\le1-y\), dan \(x\) dari 0 sampai 2: \(\int_0^1\int_0^{1-y}2\,dz\,dy=1\).
3. Penerapan
Volume \(V(E)=\iiint_E1\,dV\). Nilai rata-rata \(f_{\text{rata}}=\frac1{V(E)}\iiint_Ef\,dV\). Bila padatan mempunyai kerapatan \(\rho(x,y,z)\): \[ m=\iiint_E\rho\,dV,\quad M_{yz}=\iiint x\rho\,dV,\ M_{xz}=\iiint y\rho\,dV,\ M_{xy}=\iiint z\rho\,dV, \] \[ (\bar x,\bar y,\bar z)=\Bigl(\frac{M_{yz}}m,\frac{M_{xz}}m,\frac{M_{xy}}m\Bigr),\qquad I_x=\iiint(y^2+z^2)\rho\,dV,\ I_y=\iiint(x^2+z^2)\rho\,dV,\ I_z=\iiint(x^2+y^2)\rho\,dV. \]
Kubus \([0,1]^3\) dengan \(\rho=x+y+z\): \(m=3\int_0^1\int_0^1\int_0^1x\,dx\,dy\,dz=3\cdot\tfrac12=\tfrac32\) (karena \(\iiint x=\tfrac12\), sama untuk \(y,z\)). \(M_{yz}=\iiint x(x+y+z)\,dV=\tfrac13+\tfrac14+\tfrac14=\tfrac56\). \(\bar x=\dfrac{5/6}{3/2}=\tfrac59\approx0{,}556\); sama untuk \(\bar y,\bar z\). Pusat massa bergeser ke arah sudut \((1,1,1)\), di mana kerapatan terbesar.
Rata-rata \(f=z\) pada tetrahedron Contoh 2: \(\dfrac{1/24}{1/6}=\tfrac14\). Rata-rata \(f=x\) pada kubus satuan: \(\tfrac12\).
Kerapatan gabungan \(f(x,y,z)=6e^{-x-2y-3z}\), \(x,y,z\ge0\): \(\int_0^\infty e^{-x}dx\int_0^\infty2e^{-2y}dy\int_0^\infty3e^{-3z}dz=1\). \(P(X\le1,\,Y\le1,\,Z\le1)=(1-e^{-1})(1-e^{-2})(1-e^{-3})\approx0{,}632\cdot0{,}865\cdot0{,}950\approx0{,}519\).
4. Kesalahan umum
- Memakai batas \(z\) yang salah karena tidak menggambar padatan.
- Batas integral luar tidak konstan.
- Lupa membuat \(\iiint1\,dV\) jika yang diminta volume.
- Menyamakan \(\bar x\) dengan \(M_{xz}/m\): \(\bar x\) memakai momen terhadap bidang \(yz\), \(M_{yz}\).
5. Ringkasan
- Integral rangkap tiga \(=\) integral berulang dalam tiga integral satu peubah.
- Padatan tipe 1: \((x,y)\in D\), \(u_1\le z\le u_2\).
- Volume, massa, pusat massa, momen inersia, dan peluang adalah penerapan utama.
Berikutnya 15.8: koordinat tabung.