Pada 12.5 kita mempelajari permukaan paling sederhana: bidang. Subbab ini membahas permukaan lengkung yang persamaannya berderajat dua: silinder dan permukaan kuadrik. Permukaan ini akan sering muncul sebagai grafik fungsi dua peubah (Bab 14) dan sebagai batas daerah integral rangkap tiga (Bab 15).
1. Jejak (trace)
Permukaan di ruang sulit digambar langsung. Cara yang andal: potong permukaan dengan bidang-bidang sejajar bidang koordinat, lalu amati kurva irisannya.
Jejak suatu permukaan \(S\) adalah kurva perpotongan \(S\) dengan sebuah bidang. Bidang \(x=k\) memberi jejak di bidang \(yz\)-sejajar, bidang \(y=k\) memberi jejak \(xz\)-sejajar, dan bidang \(z=k\) memberi jejak \(xy\)-sejajar (sering disebut kurva ketinggian atau irisan horizontal).
Dengan menggabungkan beberapa jejak, bentuk permukaan terbayang seperti tumpukan irisan roti.
2. Silinder
Silinder adalah permukaan yang dibentuk oleh semua garis (disebut garis pelukis) yang sejajar suatu garis tertentu dan memotong suatu kurva bidang yang diberikan.
Kuncinya: persamaan yang tidak memuat satu peubah menggambarkan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu peubah yang hilang. Persamaan di \(\mathbb R^3\) yang hanya memuat \(x\) dan \(y\) adalah kurva di bidang \(xy\) yang "ditarik" sepanjang sumbu \(z\).
\(z=x^2\) tidak memuat \(y\). Untuk setiap \(y\), irisan \(y=k\) adalah parabola \(z=x^2\) yang sama. Jadi permukaannya adalah silinder parabolik dengan garis pelukis sejajar sumbu \(y\).
\(x^2+y^2=1\) di \(\mathbb R^3\): setiap bidang \(z=k\) memotongnya di lingkaran satuan. Hasilnya pipa tak hingga berjari-jari 1 dengan sumbu \(z\) sebagai sumbu simetri. Sebaliknya \(x^2+z^2=4\) adalah silinder berjari-jari 2 sepanjang sumbu \(y\).
\(y^2-z^2=1\) (tanpa \(x\)): silinder hiperbolik sepanjang sumbu \(x\). \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{z^2}{4}=1\): silinder eliptik sepanjang sumbu \(y\).
Di bidang, \(x^2+y^2=1\) adalah lingkaran; di ruang ia silinder. Selalu periksa ruang tempat persamaan dibaca. Untuk membatasi silinder menjadi lingkaran saja, tambahkan persamaan kedua, mis. \(\{x^2+y^2=1,\ z=0\}\).
3. Permukaan kuadrik
Permukaan kuadrik adalah grafik persamaan derajat dua dalam tiga peubah: \[ Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0. \] Dengan translasi dan rotasi, persamaan ini dapat disederhanakan menjadi salah satu dari dua bentuk baku: \(Ax^2+By^2+Cz^2+J=0\) atau \(Ax^2+By^2+Iz=0\).
Berikut enam jenis utama (konstanta \(a,b,c\gt0\)). Untuk tiap jenis kita lihat jejaknya.
3.1 Elipsoid
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1. \]
Jejak di \(z=k\): \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{k^2}{c^2}\), elips untuk \(|k|\lt c\), satu titik untuk \(|k|=c\), kosong untuk \(|k|\gt c\). Jejak di bidang lain juga elips. Titik potong sumbu: \((\pm a,0,0)\), \((0,\pm b,0)\), \((0,0,\pm c)\). Jika \(a=b=c\), elipsoid menjadi bola.
3.2 Paraboloid eliptik
\[ z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}. \]
Jejak \(z=k\): elips untuk \(k\gt0\), titik asal untuk \(k=0\), kosong untuk \(k\lt0\). Jejak \(x=k\) dan \(y=k\): parabola. Bentuk seperti mangkuk atau antena parabola yang membuka ke atas. Untuk \(a=b\) disebut paraboloid putar.
3.3 Paraboloid hiperbolik
\[ z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}. \]
Jejak \(z=k\): hiperbola (untuk \(k\ne0\)), dua garis berpotongan \(y=\pm\frac bax\) untuk \(k=0\). Jejak \(x=k\): parabola membuka ke atas; jejak \(y=k\): parabola membuka ke bawah. Titik asal adalah titik pelana: minimum sepanjang sumbu \(y\) tetapi maksimum sepanjang sumbu \(x\).
3.4 Kerucut eliptik
\[ \frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}. \]
Jejak \(z=k\): elips \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}\) yang membesar dengan \(|k|\) (satu titik di \(k=0\)). Jejak \(x=k\), \(y=k\): hiperbola (dan dua garis berpotongan di \(k=0\)). Permukaan terdiri dari dua "lembar" yang bertemu di titik asal.
3.5 Hiperboloid satu lembar
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1. \]
Jejak \(z=k\): elips \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}\) untuk semua \(k\), paling kecil di \(k=0\) ("pinggang"). Jejak \(x=k\), \(y=k\): hiperbola. Satu permukaan yang tersambung, seperti menara pendingin.
3.6 Hiperboloid dua lembar
\[ -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1. \]
Jejak \(z=k\): \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}-1\), kosong untuk \(|k|\lt c\), titik untuk \(|k|=c\), elips untuk \(|k|\gt c\). Jejak \(x=k\), \(y=k\): hiperbola. Permukaannya terdiri dari dua bagian terpisah (\(z\ge c\) dan \(z\le-c\)).
Tabel ringkasan
| Permukaan | Persamaan baku | Jejak \(z=k\) | Jejak vertikal |
|---|---|---|---|
| Elipsoid | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) | elips (\(|k|\lt c\)) | elips |
| Paraboloid eliptik | \(z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) | elips (\(k\gt0\)) | parabola |
| Paraboloid hiperbolik | \(z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}\) | hiperbola | parabola |
| Kerucut eliptik | \(\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) | elips | hiperbola |
| Hiperboloid satu lembar | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) | elips (semua \(k\)) | hiperbola |
| Hiperboloid dua lembar | \(-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) | elips (\(|k|\gt c\)) | hiperbola |
- Semua peubah berpangkat dua, ruas kanan 1: ada tanda minus? Tidak ada → elipsoid; satu minus → hiperboloid satu lembar; dua minus → hiperboloid dua lembar.
- Ruas kanan 0 dengan semua pangkat dua → kerucut.
- Satu peubah berpangkat satu, dua lainnya kuadrat → paraboloid (elips jika tanda sama, hiperbolik jika berbeda).
4. Contoh
\(x^2+2z^2-6x-y+10=0\). Lengkapkan kuadrat \(x\): \((x-3)^2+2z^2=y-1\), yaitu \(y-1=(x-3)^2+2z^2\). Ini paraboloid eliptik dengan sumbu sejajar sumbu \(y\) dan titik puncak \((3,1,0)\), membuka ke arah \(y\) positif.
\(x^2-y^2+z^2-2x+2y-2z=1\). Lengkapkan kuadrat: \((x-1)^2-(y-1)^2+(z-1)^2=1+1-1+1=2\). Persamaannya \(\dfrac{(x-1)^2}{2}-\dfrac{(y-1)^2}{2}+\dfrac{(z-1)^2}{2}=1\): hiperboloid satu lembar dengan pusat \((1,1,1)\) dan sumbu sejajar sumbu \(y\) (peubah yang bertanda minus).
\(4x^2+y^2+9z^2-8x+2y-36z+13=0\) → \(4(x-1)^2+(y+1)^2+9(z-2)^2=-13+4+1+36=28\). Bagi 28: \(\dfrac{(x-1)^2}{7}+\dfrac{(y+1)^2}{28}+\dfrac{(z-2)^2}{28/9}=1\). Elipsoid dengan pusat \((1,-1,2)\), setengah sumbu \(\sqrt7,\ \sqrt{28},\ \sqrt{28}/3\).
\(z^2-x^2-y^2=4\) adalah hiperboloid dua lembar: jejak \(z=k\) adalah \(x^2+y^2=k^2-4\), kosong untuk \(|k|\lt2\), titik di \(k=\pm2\) (titik puncak \((0,0,\pm2)\)). Sedangkan \(z^2-x^2-y^2=-4\) (ruas kanan negatif) berarti \(x^2+y^2-z^2=4\), hiperboloid satu lembar. Perubahan tanda di ruas kanan mengubah jenis permukaan.
Kerucut \(z^2=x^2+y^2\) dipotong bidang \(z=1+y\): substitusi, \((1+y)^2=x^2+y^2\Rightarrow x^2=1+2y\), yaitu \(y=\frac{x^2-1}2\). Proyeksi irisan pada bidang \(xy\) adalah parabola, dan kurva irisannya sendiri adalah parabola di bidang miring itu. Inilah salah satu irisan kerucut: elips, parabola, atau hiperbola, tergantung kemiringan bidang potong.
Daerah di dalam paraboloid \(z=x^2+y^2\) dan di bawah bidang \(z=4\): jejak \(z=4\) adalah lingkaran \(x^2+y^2=4\). Untuk tiap \(z\in[0,4]\) irisannya cakram berjari-jari \(\sqrt z\). Volumnya (dengan irisan) \(\displaystyle\int_0^4\pi z\,dz=8\pi\).
Antena parabola dengan lebar 2 m dan kedalaman 0,25 m dimodelkan \(z=kr^2\), \(r^2=x^2+y^2\): di \(r=1\), \(z=0{,}25\), jadi \(k=0{,}25\); persamaan \(z=\tfrac14(x^2+y^2)\). Paraboloid putar ini fokus pada \(z=\frac1{4k}=1\) m: semua sinar sejajar sumbu terpantul menuju titik tersebut.
5. Kesalahan umum
- Mengira \(x^2+y^2=1\) di ruang adalah lingkaran. Ia silinder (peubah \(z\) bebas).
- Menyamakan paraboloid dan kerucut: kerucut \(z^2=\dots\) (kuadrat), paraboloid \(z=\dots\) (linear).
- Mengabaikan tanda: satu minus (satu lembar) vs dua minus (dua lembar).
- Menggambar permukaan dari satu jejak saja. Gabungkan beberapa jejak.
- Lupa melengkapkan kuadrat sehingga pusat/puncak salah.
6. Ringkasan
- Jejak: irisan permukaan dengan bidang \(x=k\), \(y=k\), atau \(z=k\).
- Silinder: persamaan tanpa satu peubah; garis pelukis sejajar sumbu peubah itu.
- Enam kuadrik: elipsoid, paraboloid eliptik/hiperbolik, kerucut, hiperboloid satu/dua lembar.
- Untuk mengenali: lengkapkan kuadrat, bawa ke bentuk baku, lihat tanda dan pangkat.
Bab 12 berakhir di sini. Bab berikutnya, 13.1, memakai vektor untuk menggambarkan kurva dan gerak di ruang.