Kita sudah punya banyak uji kekonvergenan: uji divergensi, integral, perbandingan, perbandingan limit, Leibniz, rasio, akar, ditambah deret geometri, deret-\(p\), dan deret teleskop. Kesulitan baru muncul: uji mana yang dipakai untuk deret tertentu? Tidak ada resep mekanis yang selalu benar, tetapi ada urutan pertimbangan yang hampir selalu menolong. Subbab ini merangkumnya dan melatihnya pada banyak contoh.
1. Langkah-langkah strategi
- Cek dulu apakah \(a_n\to0\). Bila tidak (atau limit tidak ada), deret divergen menurut uji divergensi. Langkah ini cepat dan sering menyelesaikan soal.
- Kenali deret standar.
- Geometri \(\sum ar^{n-1}\): konvergen bila \(|r|\lt1\), jumlah \(\frac a{1-r}\).
- Deret-\(p\) \(\sum\frac1{n^p}\): konvergen bila \(p\gt1\).
- Teleskop: uraikan dengan pecahan parsial, lihat suku yang bertahan.
- Suku rasional atau memuat akar dari polinomial \(\Rightarrow\) uji perbandingan limit dengan \(\frac1{n^p}\) dari suku dominan; bila ada pertidaksamaan jelas, perbandingan langsung.
- Berganti tanda (\((-1)^n\)) \(\Rightarrow\) uji Leibniz; bila gagal, periksa uji rasio atau uji divergensi. Lalu periksa kemutlakan: apakah \(\sum|a_n|\) konvergen?
- Faktorial, pangkat \(c^n\), atau hasil kali/pembagian dalam \(n\) \(\Rightarrow\) uji rasio. Bila seluruh suku berpangkat \(n\): uji akar.
- Suku \(a_n=f(n)\) dengan \(f\) mudah diintegralkan dan menurun \(\Rightarrow\) uji integral (misalnya \(\frac1{n(\ln n)^p}\), \(ne^{-n^2}\)).
- Bila semua gagal: tulis ulang suku (rasionalkan akar, pecahan parsial, identitas trigonometri), atau cari batas dengan \(|\sin|\le1\), \(\ln n\lt n^{\varepsilon}\).
- Uji rasio dan akar gagal (\(L=1\)) untuk suku rasional murni. Jangan buang waktu; pakai perbandingan.
- Uji divergensi tidak pernah membuktikan kekonvergenan. \(a_n\to0\) hanyalah syarat perlu.
2. Contoh-contoh
Untuk tiap deret, tentukan konvergen/divergen, dan jelaskan ujinya.
\(\lim\dfrac{n-1}{3n+1}=\dfrac13\ne0\). Divergen (uji divergensi).
Suku dominan: \(\dfrac{n^{3/2}}{3n^3}=\dfrac13\cdot\dfrac1{n^{3/2}}\). Bandingkan limit dengan \(b_n=\frac1{n^{3/2}}\): \(\dfrac{a_n}{b_n}\to\dfrac13\). Deret-\(p\) dengan \(p=\frac32\gt1\) konvergen, jadi konvergen. (Jumlahnya \(\approx0{,}591\).)
Fungsi \(xe^{-x^2}\) mudah diintegralkan: \(\int_1^\infty xe^{-x^2}dx=\frac1{2e}\). Menurun untuk \(x\ge1\). Konvergen (uji integral). Uji rasio juga bisa: \(\frac{(n+1)e^{-(n+1)^2}}{ne^{-n^2}}=\frac{n+1}{n}e^{-2n-1}\to0\).
Berganti tanda, tetapi \(\dfrac{(3/2)^n}{n^2}\to\infty\) (eksponensial mengalahkan polinomial). Suku tidak menuju 0, jadi divergen. (Uji rasio juga memberi \(L=\frac32\gt1\).)
Faktorial dan hasil kali: uji rasio. \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)}{3(n+1)+2}=\dfrac{n+1}{3n+5}\to\dfrac13\lt1\). Konvergen.
Uji integral: dengan \(u=\ln x\), \(\int_2^\infty\dfrac{dx}{x(\ln x)^2}=\Bigl[-\dfrac1{\ln x}\Bigr]_2^\infty=\dfrac1{\ln2}\). Konvergen. Bandingkan dengan \(\sum\frac1{n\ln n}\) yang divergen: pangkat tambahan pada \(\ln n\) mengubah hasil.
Seluruh suku berpangkat \(n\): uji akar. \(\sqrt[n]{a_n}=\dfrac{\ln n}n\to0\lt1\). Konvergen mutlak.
\(n\sin\frac1n=\dfrac{\sin(1/n)}{1/n}\to1\ne0\). Divergen (uji divergensi). Sebaliknya \(\sum\sin\frac1n\) divergen karena \(\sin(1/n)\big/\tfrac1n\to1\) dan harmonik divergen (perbandingan limit).
Berganti tanda dengan \(b_n=\frac1{\sqrt n+1}\) menurun dan \(\to0\), jadi konvergen (Leibniz). Kemutlakan: \(\frac1{\sqrt n+1}\) dibandingkan \(\frac1{\sqrt n}\) (limit 1), divergen. Jadi konvergen bersyarat.
Tanda tak beraturan. \(\left|\dfrac{\cos n}{n^{3/2}}\right|\le\dfrac1{n^{3/2}}\) dan \(p=\frac32\gt1\). Konvergen mutlak.
\(\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n\): deret teleskop dengan \(s_n=\sqrt{n+1}-1\to\infty\). Divergen. (Alternatif: dominan \(\frac1{2\sqrt n}\), \(p=\frac12\).)
Rasio \(\dfrac{2}{n+1}\to0\). Konvergen (jumlahnya \(e^2-1\) bila mulai dari \(n=1\); lihat 11.10).
\(\ln n\lt\sqrt n\) untuk \(n\) cukup besar, jadi \(\dfrac{\ln n}{n^2}\lt\dfrac1{n^{3/2}}\), konvergen (perbandingan). Atau uji integral seperti pada 11.3.
3. Tabel ringkas
| Bentuk deret | Uji pertama |
|---|---|
| \(\sum ar^n\) | geometri |
| \(\sum1/n^p\) | deret-\(p\) |
| polinom/polinom | perbandingan limit dengan \(1/n^p\) |
| \(n!\), \(c^n\), \(\binom{2n}{n}\) | rasio |
| \((\ldots)^n\) | akar |
| \((-1)^n b_n\) | Leibniz, lalu kemutlakan |
| \(f(n)\), \(f\) mudah diintegralkan | integral |
| \(a_n\not\to0\) | divergensi |
4. Ringkasan
- Selalu mulai dengan uji divergensi dan pengenalan deret standar.
- Pilih uji berdasarkan bentuk suku: rasional (perbandingan), faktorial/eksponensial (rasio), pangkat-\(n\) (akar), berganti tanda (Leibniz), integrabel (integral).
- Bila satu uji tidak menyimpulkan, ganti uji; jangan memaksa.
Mulai 11.8, sukunya mengandung peubah \(x\): deret pangkat.