Di Bab 14 setiap titik di bidang diberi sebuah bilangan (suhu, tinggi). Sekarang setiap titik diberi sebuah vektor: arah dan kecepatan angin, kuat dan arah gaya gravitasi, medan listrik. Objek seperti ini disebut medan vektor, dan subbab-subbab Bab 16 membangun kalkulus untuknya.
1. Definisi
Misalkan \(D\subseteq\mathbb R^2\). Medan vektor pada \(D\) adalah fungsi \(\mathbf F\) yang mengaitkan setiap titik \((x,y)\in D\) dengan vektor dua dimensi \(\mathbf F(x,y)\): \[ \mathbf F(x,y)=P(x,y)\,\mathbf i+Q(x,y)\,\mathbf j=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle. \] Di ruang, untuk \(E\subseteq\mathbb R^3\): \[ \mathbf F(x,y,z)=\langle P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\rangle. \] \(P,Q,R\) disebut fungsi komponen (fungsi skalar). \(\mathbf F\) kontinu atau terdiferensialkan bila semua komponennya demikian.
Cara menggambarnya: pilih beberapa titik, dan gambar panah \(\mathbf F(x,y)\) dengan titik awal di \((x,y)\) (tidak harus panjang sebenarnya; sering dinormalkan atau diskalakan).
- \(\mathbf F=\langle-y,x\rangle\): di \((1,0)\) vektor \(\langle0,1\rangle\); di \((0,1)\) vektor \(\langle-1,0\rangle\); di \((-1,0)\) vektor \(\langle0,-1\rangle\). Vektor selalu tegak lurus \(\langle x,y\rangle\) dan panjangnya \(\sqrt{x^2+y^2}\): medan putaran berlawanan arah jarum jam, makin cepat di tepi. (Kecepatan sebuah cakram yang berputar dengan kecepatan sudut 1.)
- \(\mathbf F=\langle x,y\rangle\): vektor posisi; menunjuk ke luar dari titik asal dengan panjang \(|\mathbf r|\).
- \(\mathbf F=\langle y,0\rangle\): aliran horizontal ke kanan di atas sumbu \(x\), ke kiri di bawahnya, panjang bertambah dengan \(|y|\): geseran (aliran sungai yang lajunya bervariasi dari tengah ke tepi).
\(\mathbf F(x,y,z)=\langle0,0,z\rangle=z\,\mathbf k\): vektor vertikal, ke atas di atas bidang \(xy\), ke bawah di bawahnya, panjang \(|z|\). \(\mathbf F(x,y,z)=\dfrac{\langle x,y,z\rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\): medan kuadrat terbalik, menunjuk keluar, panjang \(1/|\mathbf r|^2\).
2. Medan fisika
Benda bermassa \(M\) di titik asal menarik benda bermassa \(m\) di \(\mathbf r\) dengan gaya \[ \mathbf F(\mathbf r)=-\frac{GMm}{|\mathbf r|^3}\,\mathbf r. \] Besarnya \(\frac{GMm}{|\mathbf r|^2}\), arahnya ke titik asal. Medan listrik muatan titik \(Q\): \(\mathbf E(\mathbf r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\). Struktur matematisnya identik.
Fluida yang mengalir dalam pipa dengan profil \(\mathbf v(x,y)=\langle1-y^2,0\rangle\), \(-1\le y\le1\): kecepatan maksimum 1 di tengah (\(y=0\)) dan nol di dinding (\(y=\pm1\)). Aliran udara \(\mathbf V(x,y,z)\) di atmosfer adalah contoh medan kecepatan tiga dimensi yang berubah terhadap waktu.
3. Medan gradien dan medan konservatif
Bila \(f\) fungsi skalar terdiferensialkan, gradiennya \[ \nabla f=\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr\rangle\quad\Bigl(\text{di ruang }\ \nabla f=\bigl\langle f_x,f_y,f_z\bigr\rangle\Bigr) \] adalah medan vektor, disebut medan gradien. Medan \(\mathbf F\) disebut konservatif bila \(\mathbf F=\nabla f\) untuk suatu fungsi skalar \(f\); \(f\) disebut fungsi potensial dari \(\mathbf F\).
Dari 14.6, \(\nabla f\) tegak lurus kurva ketinggian dan menunjuk ke arah \(f\) naik paling cepat. Jadi gambar medan gradien selalu "memotong tegak lurus" kontur.
\(f(x,y)=x^2y-y^3\): \(\nabla f=\langle2xy,\ x^2-3y^2\rangle\). Di \((1,1)\): \(\langle2,-2\rangle\). Medan gaya \(\mathbf F=\langle2xy,x^2-3y^2\rangle\) dikatakan konservatif dengan potensial \(f\).
\(f(\mathbf r)=\dfrac{GMm}{|\mathbf r|}\). Maka \(\nabla\dfrac1{|\mathbf r|}=-\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}\) (turunkan \((x^2+y^2+z^2)^{-1/2}\)), jadi \(\nabla f=-\dfrac{GMm}{|\mathbf r|^3}\mathbf r=\mathbf F\): medan gravitasi konservatif. Dalam fisika, energi potensial adalah \(-f\).
Medan putaran \(\langle-y,x\rangle\) bukan gradien: bila \(f_x=-y\) dan \(f_y=x\) maka \(f_{xy}=-1\) tetapi \(f_{yx}=1\), bertentangan dengan Clairaut (14.3). Di 16.3 kita turunkan syarat umumnya: untuk \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) konservatif harus \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\).
4. Garis aliran
Garis aliran (garis arus) medan \(\mathbf F\) adalah kurva \(\mathbf r(t)\) yang vektor singgungnya di setiap titik sama dengan \(\mathbf F\): \(\mathbf r'(t)=\mathbf F(\mathbf r(t))\). Ini adalah lintasan partikel yang terbawa fluida.
\(\mathbf F=\langle-y,x\rangle\): \(x'=-y\), \(y'=x\). Maka \(x''=-y'=-x\), \(x=c_1\cos t+c_2\sin t\), \(y=-x'=c_1\sin t-c_2\cos t\). Misalnya \(x(0)=1,y(0)=0\): \(x=\cos t,y=\sin t\), lingkaran satuan. Garis aliran adalah lingkaran berpusat di asal.
\(\mathbf F=\langle x,y\rangle\): \(x'=x,\ y'=y\Rightarrow x=ae^t,\ y=be^t\): garis lurus dari titik asal ke luar, \(y=\frac bax\).
5. Kesalahan umum
- Menyamakan medan vektor dengan medan skalar. \(\mathbf F\) mempunyai arah di setiap titik.
- Menggambar semua panah dengan panjang sebenarnya sehingga saling menutupi: normalkan atau skalakan.
- Menganggap setiap medan adalah gradien.
6. Ringkasan
- \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) atau \(\langle P,Q,R\rangle\): vektor di tiap titik.
- Contoh fisika: gravitasi, listrik, kecepatan fluida, angin.
- \(\nabla f\) adalah medan gradien; \(\mathbf F=\nabla f\) konservatif dengan potensial \(f\).
- Garis aliran: \(\mathbf r'=\mathbf F(\mathbf r)\).
Berikutnya 16.2 Integral Garis.